高等数学课中德育浅谈

陈仁莲

[摘 要]思政不单单是指思想政治课，而是在校园里所有一切与师生学习生活密切相关的方方面面都蕴含着思政问题。当然，作为数学课程，也不例外。该文从高等数学中常数项级的敛散性出发，浅谈个人在高等数学课中对思政方面的认识。

[关键词]课程思政;正项级数;交错级数;敛散性

[中图分类号] G641;O13-4[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）48-00-03[收稿日期] 2020-09-21

一、前言

古人曰：“敬教劝学，建国之大本;兴贤育才，为政之先务。”课程思政已经开始从隐性舞台走向了显性舞台。更加需要强调把“立德树人、教书育人”这一本质贯穿到学校的方方面面。马克思说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”恩格斯也说：“在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”“要确立辩证的，同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然的知识。”可见数学与哲学地位一样，同等重要。而高等数学作为大学一门必修的公共基础课，义不容辞地将要承担着思政、立德、育人的重任。本文将从常数项级的敛散性方面出发，谈谈高等数学课中处处蕴含着唯物主义的世界观和为人处事的方法等，进而增强学生们的爱国主义与民族凝聚力，激励学生们积极努力、发愤图强、立志成才。

二、正项级数敛散性蕴含着的育人思想

在讲授常数项级数的审敛法时，首先给出正项级数敛散性的判定法—比较审敛法，如下：

设和为正项级数，且满足un≤vn，（n=1，2，…），则有

（1）若级数收敛，则级数收敛;

（2）若级数发散，则级数发散。

虽然这个结论表面上展示给我们的是数学知识，但却富含着丰富的人生哲理。

第一，如果判断级数的敛散性有困难，但是我们知道正项级数的收敛性，且满足un≤vn，（n=1，2，…），那么正项级数的收敛性就迎刃而解了。这让我们联想到现实生活中，当遇到困难与问题时，直接面对可能解决起来很困难，但是我们可以借助“它山之石可以攻玉”的道理，曲径通幽，找到与之关联的，相对容易解决的方面进行考量，进而解决我们的困难与问题，有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。这正是一种灵活转化、变通的思维！比如，你如果有车的话，一般地都有一个备用胎，它是做什么用的呢，当然是当你的车发生了漏气、爆胎等问题的时候，而你的车又不在维修站附近，怎么办？自然地，我们的备用胎就上场了，你的车子又可以行驶起来。最能体现这种转化思维的，当属今年的年初特殊期间，“在线办公”“停课不停学”，感谢强大的网络，让我们的一切又都变得正常，开始了线上办公、教学，钉钉、腾讯课堂、腾讯会议等各种平台改变了我们生活。同时强大的物流网络给我们的日常生活带来了便利，减少了安全隐患。

第二，在这正项级数的比较审敛法中，我们从另一个角度理解敛散性，即如果大项的收敛，那么小项的一定收敛，反之，小项的发散，大项的必发散。这又与我们生活中做人做事如出一辙。比如说，我们经常听说，会有人问你来自哪里？你的家庭情况如何？你的父母工作如何？如果他说他来自山东，人们立刻想到你肯定成绩好。因为山东是一个爱学习的地方，山东孩子考大学最厉害。相反，如果说这个人特别会做生意，人们立刻想到他一定是来自广东，尤其是潮汕地区。因为，在人们的眼中广东人人都会做生意。人们的潜意识里不会想到山东人做生意强，广东的孩子考大学棒。同样，如果你的父母都是北大清华毕业的，人们对你的映象必然是你一定学习很好，因为你的爸爸妈妈都是那么优秀的，你肯定遗传了他们超强的基因;如果你的成绩不好，一般情况下，人们就会联想到他的父母有没有上过学，有没有上过大学，如果没有，自然地，他的学习不好是正常的。古人云“书香门第”“大户人家”“蓬门荜户”等，你的祖辈留给你的可能在生活中开设了一条通道或屏障，人们潜意识中就给了一个标签。同样地，上升到国家层面，如果一个国家在各领域，诸如政治、军事、经济、科技等方面都很强，那么他在国际上的地位不言而喻，其他国家对之重视和尊重也将不一样，其国人民在世界的各个角落也同样会受到欢迎;相反，如果该国人民对自己的国家首先都不够热爱、尊重，一味地崇洋媚外，这说明该国的发展还远远没有满足不了民众，自然地，该国在世界上的地位就可想而知了。

在讨论p?级数（p>）的敛散性时，自然地想到上一节所讲到的调和级数以及任意一个实数介于两个连续整数之间，即k-1≤x≤k，从而进而利用比较审敛法和级数收敛的充要条件其部分和数列有界这两结论，得当p≤1时发散，p>1时收敛。

由p?级数的敛散性可以看到在我们的生活中也是有很多时候都与此类似。比如，有些学生说考研，然后开始准备，前期都非常积极努力，越是临近考研日期时，突然感觉压力好大，不自信，思想上开始有了松懈，有点不想坚持了，更甚至考研时间到了，却放弃了。当然，放弃了，只有零希望，不放弃，说不定有了一个质的飞跃，你的人生又将是另一片天地。中华人民共和国成立后，为了保卫国家安全、维护世界和平，我们要造原子弹，那时的状况是一穷二白，但是我们却拥有众多愿报效祖国的优秀科技工作者，其中好多是享誉國际的科学家，他们响应党和国家的召唤，将一颗爱国之心奉献国家，克服了许许多多的艰难险阻，最终取得了举世瞩目的辉煌成就。试想，如果我们国家仅仅因为当时贫穷，不去攻克这些世界上认为我们一定搞不出来的尖端科技，今天我们的国家能够令世界刮目相看吗？“坚持就是胜利”“锲而不舍，金石可镂”，成功一定在不远处等着你！

对于有的正项级数来说，用比较审敛法可能不好判断其敛散性，可以从自身考虑，选用比值审敛法（或达朗贝尔判别法），即：为正项级数，如果，则当时级数收敛;当（或）时级数发散;当时级数可能收敛也可能发散。

达朗贝尔判别法让我们又想到现在流行病。当流行病在全世界大流行时，各国基本上都为了避免境外输入病例，采取了封国的政策，限制疾病较为严重国家的进入。然而，当今世界各国的发展都需要彼此依存，现在切断了外来经济的往来，怎么办，各个国家必须想办法解决老百姓的衣食住行等民生问题。我们国家提出了经济内循环，并予以实施，现在我们国家人们生活基本上恢复了原来的现状，经济正在逐渐好转。事实说明这是正确、合理和与时俱进的。

三、交错级数的唯物思想

当我们在学习交错级数（un>0）时，知道任意前后两项之间的符号必须相反。同学们立刻会想到之前学过的级数1-1+1-1+…+（-1）n-1+…，可以写成，满足交错级数的条件，从而是交错级数，随即再给出级数，会发现它虽然满足的外形，但是当我们仔细写成它的每一项时，去发现它并不符合交错级数的任意前后两项符号的要求，所以它并不是交错级数。

从这里可以想到我们的生活中，经常会遇到类似的现象或问题。礼记大学曰“物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣”。对待任何事物，我们都要抓住其本质，透过现象看本质。最终才能解决问题。

四、绝对收敛与条件收敛的人生启迪

在讲绝对收敛与条件收敛时，我们经常会给出这样几个级数：，，，，以及之前的调和级数和p?级数（p>0）。通过学习，我们知道调和级数是发散的;p?级数（p>0）在p≤1时发散，p>1时收敛;级数与是收敛的，但是其一般项取绝对值符号以后却发散了，所以它俩是条件收敛。而对于级数与，其一般项取绝对值符号以后仍然是收敛的，所以它俩是绝对收敛。因此，在探究绝对值级数的收敛性时，我们先要清楚掌握到原级数的收敛性，其次利用正项级数的性质，最后建立一个与二者有关的正项级数，从而判断此级数的是绝对收敛还是条件收敛。

从以上几个级数的讨论，事实上都可以说是调和级数的形式上的改造。但是我们却发现经过改造以后，有的敛散性发生了改变，有的敛散性没变，但是判断敛散性的方法改变了。这让我们又可以在生活中相似之处。比如随着互联网的快速发展，我们的理财方式从单一的银行的定期、活期存款，发展到购买一些理财产品、股票、基金、理财保险，再到现在琳琅满目的理财平台，如支付宝都可以实现资产的增值。当然这个过程中，我们要擦亮眼睛，识别真伪，最终實现收益。这告诉我们，事物都是发展的，当遇到问题时，我们一定要善于变通，灵活应对，对症下药。俗话说：变则通，通则活。

五、相关数学家们的百折不挠精神

在讨论常数项级数的敛散性时，我们还可以介绍一些相关的理论背景和一些相关的数学家们，注意到所学到的级数理论都是一位位数学家怀着满腔对数学热爱之情，经过一个漫长而艰辛的岁月逐步发展、完善的。因此，一个人若想成功，做出一番事业，首先，你要先去热爱它，因为只有你热爱它，才会愿意付出行动，因为热爱，才会付出投入，因为热爱，才会愿意坚持。其次，你必须要有坚强的毅力。忍耐和坚持虽然是痛苦的事情，但是却能渐渐地为你带来满满的收获。最后，借用鲁迅先生的一句话，一起共勉：“不耻最后”，即使慢，驰而不息，纵令落后，纵令失败，但一定可以达到他所向往的目标！

六、结语

总之，身为讲授数学课的老师，首先要热爱我们的数学，然后以身作则，言传身教，充分发挥数学教师的人文素养，通过讲述一些生活中最真实的事例，来阐释数学课堂中一些被学生们认为枯燥、难懂的内容，这样不但让学生们感受到数学原来可以这么贴近生活，又可以让学生们感受到思政无处不在。学生们在数学殿堂遨游的时候，不仅收获到数学之美，而且还可以净化心灵，把握了正确的人生航向，让其人生观、价值观、道德观不断提升。教师们也实现了教学的终极目标—教书育人。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学下册[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]苏立本.数学教学中应渗透德育教育[J].教育教学论坛，2010（15）：148-149.

[3]慕运动，许小艳.基于无穷级数教与学中的数学素养的培养[J].大学数学，2014（30）：81-86.

[4]左晓虹.将思想政治教育融入高职数学课程教学的重要性与可行性[J].科学咨询（科技·管理），2019（6）：71-72.