感悟变式教学对数学思维能力的培养

李怀忠

【摘 要】 在数学教学过程中，针对概念、性质、定理、公式，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景改变问题的设置形式，事实证明，有效的变式训练对于优化学生的知识结构、提升学生的思维能力有很重要的作用。

【关键词】 变式;拓展;迁移

所谓变式教学，是指在数学教学过程中，对数学问题从不同角度、不同层次进行变式设计，采用题组形式，以点带面，让学生深层次理解问题的本质，从而掌握解决问题的基本方法。教学实际表明，利用变式教学，可以优化学生的知识结构，深化学生对数学思想和方法的理解，能有效提高学生灵活解决问题的能力，尤其是对培养学生创新思维能力有着重要作用。本文就一节高三复习课进行变式训练的做法和感悟，谈谈自己的体会。

【题目】求函数f（x）=的最小值。

分析：设g（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，

当x=1时，g（x）min=2，所以f（x）min=。

【设计背景】此题的核心概念是二次函数型的复合函数值域问题，内层函数的最值影响整个函数的最值。

为了能够让学生准确把握习题背后所隐藏的核心概念和思想方法，设计如下的变式题组：

【变式1】（1）当x∈[-1，3]时，求f（x）的最小值;

（2）当x∈[-1，0] 时，求f（x）的最小值;

（3）当x∈[2，3]时，求f（x）的最小值。

【设计意图】设计对称轴不动，区间在动，函数最值的变化情况，在解决问题的过程中，让学生体验对称轴、区间是影响二次函数的基本因素，这种“拉长”知识的形成过程的变式训练，可以强化核心概念的生成。

【变式2】当x∈[a，a+1]时，求f（x）的最小值。

【设计意图】将变式1中的三种确定的区间用变量a来代替，区间就有不确定性，根据a的变化求得f（x）的最小值H（a），从而得到新的函数H（a），使学生形成运动、变化的观点，学会分类讨论的方法，从而掌握数学思想方法。

【变式3】将函数f（x）=变为f（x）=，求函数f（x）的最小值。

【设计意图】进行函数的变换，对称轴变化致使函数的最值也在变化，从不同的方面进行变换，使学生认识二次函数或者二次型的函数最值是受开口方向、对称轴、区间三个方面来影响的。

【变式4】原题是求最小值，若改为求变式3的最大值，则结果如何？

（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的最大值;

（2）当x∈[-2，0]时，求f（x）的最大值;

（3）当x∈[-2，-1]时，求f（x）的最大值。

【设计意图】对求解的结论进行变换，使学生对变换进行更高层次的理解和把握。

【变式5】求，x∈[-1，1]的最小值。

【设计意图】对称轴动，区间不动，数学形式在变化，但是解决问题的数学思想不变，使学生感受到变式的交互性。

【變式6 】求y=，x∈[m，n]的最小值。

【设计意图】 将根式下的具体的二次函数变为一般的二次函数，区间也是不确定的，解决问题要回归到一般化的结构形式，体现变式的最终目的：解决一般问题。

【变式7】（1）（2018·广东惠州一模）函数y=cos2x+2sinx的最大值为（）。

A. B. 1C. D. 2

（2）（2014重庆）函数f（x）=的最小值为_。

【设计意图】借助三角函数和对数函数的形式，让学生把隐形的二次函数转化为具体的二次函数，体现变式的最终目的：知识的迁移和转化能力。

【感悟】

一、变式教学有利于培养学生观察、联想、转化、探索的思维能力

教师要学会在平时的教学中帮助学生建构知识，了解知识的生成过程，但更重要的是在问题的解决过程中，潜移默化地理解数学本质，领悟数学方法，而不仅仅是以题讲题，完成任务。从变式1到变式2，是师生进行知识同构的过程，即二次函数的最值问题与开口方向、对称轴、定义域有关，变式2是区间的不确定，使得问题的解决需要分类讨论，以确定函数图像所在的位置，分类讨论的数学思想悄然而至，问题的解决过程就是知识重建和数学思想的渗透过程。通过这样的变式，对知识进行构建与领悟，将有利于学生联想、转化、探索思维能力的提高。

二、变式教学有利于培养学生发散思维和创新能力

变式教学就是基于需要解决的数学问题，从不同层次、不同角度设计变式题组，形成有一定梯度、一定层次的问题链，在解决相应题组的过程中，帮助学生寻找求解类似问题的数学思想和方法。变式3和变式4属于思想方法的迁移、类比，通过这样的训练，可以大大加深学生对所学知识的理解和方法的应用，举一反三，提高思维能力;从变式1到变式6，从不同的层次变式，难度在螺旋上升，思维的广度在加深，学生对方法的理解更加透彻。

三、变式教学有利于培养学生归纳总结的思维能力

数学教学的一个主要目标就是解决问题，通过解决问题来引导学生形成自己的思维能力。因此，教学中要注重对学生思维分析能力的培养，让学生对知识初步理解和掌握之后进一步升华和熟练，使学生学会举一反三。运用变式教学，改变的是问题结构或者呈现形式，而不变的是理论、方法、思想和数学本质，使思维达到一定的高度，这就需要培养学生概括、归纳的思维能力。通过变式6，学生形成了解决问题的一般方法，切实地从题海中走出来，真正实现减负与增效。变式7的解决，深化了学生的思维结构，实现了知识的迁移和转化，有效地提升了学生解决复杂问题的能力。

【参考文献】

[1]赵华.变式训练是提高学生数学思维能力的有效途径[J]. 中学数学， 2017（1）：30-32.