构建微积分知识图谱 助推一流课程建设

涂建华 肖珺怡?姜广峰

摘 要：微积分具有知识点多、概念抽象及逻辑性强等特点。带着如何强化现代信息技术与教育教学深度融合，帮助学生高效梳理微积分知识点之间的联系，从而构建课程整体知识体系等问题，我们首先考虑了将知识图谱这一智能高效的知识组织方式引入微积分教学中。知识图谱借助图论、统计学、计算机技术等手段，能以可视化的图谱方式展示知识点之间的联系以及知识体系整体框架。从知识图谱的基础理论出发，详细分析了如何构建基于本体的微积分知识图谱，以及在教学中如何利用它来引导学生进行智能高效的学习，最后对知识图谱在教学中的应用做了展望。

关键词：微积分;知识图谱;人工智能;大学数学教学

一、前言

微积分是人类智慧的伟大成就之一，在分析和解决来自数学、物理学、工程学、经济学、管理科学等各领域问题中都有着巨大的作用。正因为如此，微积分已经成为所有理工科大学生的必修课程，对培养学生的逻辑思维能力、分析与解决实际问题的能力至关重要。但另一方面，微积分知识点众多，各知识点之间的联系千丝万缕，学生经过一年的学习，虽然可以基本掌握各个知识点，但很难贯通知识点之间的联系，把它们构建成一个整体，形成完整的知识体系。

近年来，一流课程建设成为高等教育的热点话题。课程作为高校人才培养体系中的最基本单元，是高校立德树人的重要载体，是专业建设的核心要素[1]。教育部在《关于一流本科课程建设的实施意见》中指出，强化现代信息技术与教育教学深度融合，解决好教与学模式创新的问题。知识图谱是一种智能、高效的知识组织方式，借助于图论、统计学、现代信息技术等手段，以可视化的图谱方式来展示某领域的核心结构、发展历史、各个节点之间的联系以及整体框架。利用其强大的语义处理功能和快速分析能力，知识图谱已经成为可以快速、准确地获取信息资源的智能化搜索与组织工具，在金融、公安、电信、医药、农业、政务等领域已得到了深入广泛的应用。但在数学教育领域，知识图谱的应用还没有得到足够的重视和开发。鉴于此，本文主要探讨如何将知识图谱这一信息技术应用到大学数学教育教学中，详细分析了如何构建基于本体的微积分知识图谱，以及在教学中如何利用它来引导学生智能高效地建立知识体系。

二、微积分知识图谱的构建

1.知识图谱概述

知识图谱的概念由谷歌于2012年正式提出，其初衷是改善其搜索服务。在知识图谱中，知识通过关系相互联结，构成网状的知识结构[2-3]。知识图谱中知识总是以SPO三元组（Triple）的形式出现：<主语（Subject），谓语（Predicate），宾语（Object）>。其中主语表示个体，可以是一个人、一个地点或者一个组织;宾语可以表示个体，也可以是数据类型的实例;谓语是一个属性，可以连接两个个体，也可以连接一个个体和一个数据类型的实例，用以表达主语和宾语之间的语义关系。知识图谱用图模型来描述知识和建模知识之间联系。每条知识中的主语和宾语由节点来表示，谓语部分由有向边表示，进而完成该领域知识图谱的构建。例如，我们可以从语句“微积分的研究对象是函数”中提取出三元组<微积分，研究对象，函数>，其中主语“微积分”和宾语“函数”均为个体，“研究对象”作为谓语连接两个个体。再比如从其他材料中我们得知，函数这一概念的提出时间为17世纪，从中提取三元组<函数，提出时间，17世纪>，其中主语“函数”为个体，宾语“17世纪”为数据类型“年份”的实例，“提出时间”作为谓语连接一个个体和一个数据类型的实例。再利用知识图谱对提取出来的三元组建模，将两个三元组中主语和宾语的部分作为图谱的节点，谓语部分作为有向边，用来连接主语和宾语，如图1所示。

从数据模型的角度来看，知识图谱的本质是一种图数据库，该数据库的数学基础源于数学分支——图论。在图论中，图是由二元组G=（V，E）表示，其中V是节点的集合，E是边的集合，正对应着知识图谱中的节点和边。正是依赖这种特殊的数据模型，知识图谱拥有极强的关系表达能力，并且基于图论相关知识和算法，可以快速准确地完成知识的遍历和知识体系的建立。

将知识图谱技术与特定领域应用相结合，知识图谱的价值能得到更大的发挥。领域知识图谱的实体属性与数据模式需要根据领域的特点来进行构建，同时需要考虑到特定的应用场景和使用人员。思知（OwnThink）开源了史上最大规模（1.4亿）中文知识图谱，在其平台上搜索“微分中值定理”，查询结果如图2所示。

从检索结果可以看到，现有的知识图谱项目中，对微分中值定理只有簡单描述，而没有提到与其他知识点之间的联系。据我们所知，目前尚没有可以很好用于微积分教学的知识图谱。我们将以知识点之间的逻辑关系为主要关注点来构建微积分知识图谱，同样以“微分中值定理”为例，我们构建的知识图谱将帮助学生了解到：微分中值定理是罗尔中值定理的推广，是柯西中值定理的特例，是0阶的泰勒公式，还能用来研究函数的单调性与凹凸性，在积分学中可以用来证明积分中值定理等。微积分知识图谱主要服务于学习微积分的学生，切实帮助他们理解微积分的知识框架，理清逻辑脉络。

2.微积分本体的构建

知识图谱在逻辑上可分为数据层与模式层两个部分。其中，数据层由一系列具体数据信息构成，知识将以具体事实为单位进行存储;模式层构建在数据层之上，是经过提炼的知识，也是知识图谱的核心。目前，基于本体工程的知识描述和表示是知识图谱建模的主流方法，知识图谱利用本体来管理模式层和规范数据层。本体是某一领域的概念模型，是通过鉴识相关概念，然后对其加以抽象而获得的。利用本体，我们可以将领域中公认的术语以及术语之间的关系用计算机可以理解的语言描述出来。微积分本体即是对该领域的知识以及知识之间关系的形式化表达。构建一个完备的微积分本体库可以为后续建立微积分知识图谱奠定基础，并保障其完整性和准确性。

不同类型的本体存在不同的应用目的，因此选择合适的本体编辑工具和本体构建方法是重要的准备步骤。本文选择利用斯坦福大学医学院开发的Protégé软件并结合“七步法”构建微积分本体[4-6]。Protégé是基于Java语言的本体编辑和本体开发软件，其设计操作简单便捷且功能齐全，是国内应用较为广泛的本体编辑器之一。本体的构建方法依赖于本体的类型和应用领域，每一个本体库的构建方法都有其独特性。构建本体的方法有许多，上述“七步法”的强可行性和适用性可满足我们的构建需求。下面将详细说明建立微积分本体的操作步骤，并使用Protégé软件进行实现。

（1）确定领域的本体。我们参考了同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）以及其他权威资料，并根据构建微积分本体的目的和需求，确定了本体研究领域的范围，定义了相关知识与术语。

（2）检索可供利用的现有本体，即考查复用现有本体的可能性。但目前高等数学领域还没有比较成熟规范的本体库可供直接使用，因此我们选择手工构建微积分本体库。

（3）列举领域的重要概念，并进行归纳和总结。依照课本和资料，从中抽取微积分的核心概念，并将知识进行严密的归类和合并。例如，抽取出的“极限”“微元法”等均为研究微积分的方法，即可将这些概念归结为“研究方法”。依照这一方法，我们最终总结出“研究主体”“概念”“研究方法”“研究对象”“应用”“结论”“人物”“时期”八个知识集合。

（4）定义类以及类之间的层级关系。将上一步骤中总结出的知识集合，以“类”来定义，即“类”可被理解为包含若干个具有相同特征的知识集合，并从微积分本体的创建目标出发，在保证逻辑性和实用性的前提下，选择合适的层级关系。构建类及其层级关系可采用两种方式[7]：自顶向下与自下向上。由于微积分本体属于较为成熟的数学领域，知识体系具有较强的完备性，因此采用自顶向下的建模方法来构建本体的逻辑关系，即首先构建最顶层概念，再逐步向下细化。Protégé软件中的默认顶级类为“Thing”，它是所有类的父类，并选择“subclass of”建立概念的父子类关系。将微积分的以上八个知识集合定义为“研究主体”类、“研究对象”类、“研究方法”类、“概念”类、“结论”类、“人物”类、“时期”类和“应用”类，并定义“研究主体”类为顶级类的子类，剩余七个类均为“研究主体”类的子类并且为同级关系。再在每个类下建立子类，比如，在“应用”类下建立三个子类：“导数的应用”“微分的应用”“积分的应用”;再在“积分的应用”下创建第三层概念类“几何”“物理”。表达为：“积分的应用”隶属于“应用”这一概念类，同时包含了“几何”和“物理”两个子概念。

（5）定義类的属性。属性用来创建类之间的二元关系，即从某一类中的个体出发，连接到另一类中的个体。除了类之间存在的父子关系以外，微积分知识点之间还存在大量的逻辑关系。选择Protégé软件中“Object Properties”标签，根据微积分概念之间存在的关系，本文利用了7个对象属性来刻画类与类之间的内在联系，分别为：“基本概念”“主要结论”“研究工具”“研究”“发明者”“提出时间”和“应用”。

（6）定义属性的分面。即定义属性约束。属性值的集合称为属性类，属性类也有属性，这些属性定义为属性约束。属性约束用于描述属性值的类型范围等方面。本文描述了对象属性的定义域和值域，分别为作为属性的陈述对象和支配对象。Protégé软件中，分别用描述框中的“Domain（intersection）”和“Range（intersection）”来建立对象属性的定义域和值域，如“发明者”的定义域为“研究主体”，值域为“人物”。

（7）添加个体，为每个个体进行数据属性的构建。Protégé软件中个体的建立是在“Instances”标签中实现的。将个体创建完毕后，在“owl：Types”中编辑每个个体所属的类，用于完成将个体填充到各个类的工作。依照微积分核心知识的特点，分别建立了“分类”“计算方法”“概念”“定义”“几何意义”“性质”和“本质”7个数据属性，并定义每个数据属性的值域为“string”。例如：将个体“函数”添加到“研究对象”类中，再在个体编辑界面中，在描述框中选择“Data property assertions”为个体“函数”分别编辑了“定义”“分类”“性质”三个数据属性。其中属性“定义”的具体描述内容为：定义域和值域;属性“分类”的具体描述内容为：分段函数、隐函数、初等函数、反函数、复合函数;属性“性质”的具体描述内容为：有界性、单调性、奇偶性、周期性。将微积分的核心知识添加到对应类中，并为每个个体编辑数据属性，微积分本体的构建最终完成。

3.微积分知识图谱的存储

我们将利用网络知识库Neo4j进行知识图谱的存储，这样不仅可以满足对微积分知识的存储，同时依赖网络还能够达到优质教育资源共享的目的。Neo4j是主要基于Cypher语言的图数据库，它将数据以图形方式存储、处理、查询和呈现。图数据库的每个节点都有指向邻居节点的有向边，使得可以在时间复杂度为O（1）的情况下遍历到邻居节点，且该数据库将节点与节点之间的关系单独存储，更有利于提高图遍历的速度，从而提高搜索的速度。

微积分知识图谱是以事实为单位进行存储的，因此我们需要将上一步骤微积分本体库中的知识整理为三元组结构，再根据Cypher的语法规则对微积分知识图谱进行编译，进而完成微积分知识图谱的存储。我们可在编译栏中利用Cypher查询语句检索“微积分”，查询结果如图3所示。

通过对“微积分”的搜索，可以快速查询到微积分的基本概念、研究工具等知识，并且每条知识都具体呈现了与微积分的相关性和它们之间的逻辑关系。

4.实现web前端展示界面

微积分知识图谱应用系统，可实现基于微积分知识图谱的可视化展示、智能搜索、知识问答等功能。在微积分知识图谱界面的搜索窗口，学生可输入关键词进行知识的搜索，关键词将生成查询语句在Neo4j图数据库中查询对应的结果，最后将结果返回前端，学生就可以看到以所查询知识点为中心的知识图谱。

三、微积分知识图谱在教学中的应用

微积分知识图谱以图的形式存储与展示知识点与知识点之间的关系，对提高微积分教学效果有重要意义。

（1）有利于知识点相关联的“小知识框架”建立。根据学生输入的知识点，将关联的知识点按照图谱的方式进行展示，方便学生按照关联关系来学习。更重要的是，让学生以更宏观的角度来掌握知识点的来龙去脉。比如，检索“定积分”，能查询到它与不定积分、微分、几何与物理应用等的不同关系，这些关系将以图谱的方式可视化展示。

（2）有利于课程知识体系的建立。学生借助于微积分知识图谱，对重要知识点进行检索查询，并不断地追本溯源，从而理清微积分的逻辑脉络，建立课程整体的知识体系。同时，学生也容易整体把握微积分要解决的主要问题、核心概念、重要结论以及逻辑基础。

（3）个性化学习路径推荐。为进一步发挥知识图谱的作用，还可以将知识图谱与大数据技术、机器学习等相结合。知识图谱可以针对个人构建模型，利用大数据技术关注每一个学生的学习记录，包括其在在线平台观看视频的时长、每次在线测试的成绩、提交作业的成绩等。利用学生的以上数据，分析学生对各个知识点及相关内容的掌握程度，进而给出个性化学习推荐。对不同学生，做出学情分析，推荐需要加强学习的资源和推送相关习题。

（4）辅助教师提升教学效果。教师可以借助微积分知识图谱来优化课程教学，以提升教学效果和效率。一是教师可以借助知识图谱的帮助和启发去设计教学思路，向学生展示知识点之间的逻辑关系，使学生理解一节课要解决的主要问题和要学习的重要知识点。二是教师可以让学生通过知识图谱去建立某章节的知识框架以及与下一章节的联系，并带着问题去预习下一章节。

四、总结与展望

微积分是一座宏伟的大厦，由基石、梁柱和砖木构成。学生学习的过程往往看到的是一个个砖木，走廊，而没法理解大厦的结构，因此学习的动力不足，兴趣不高。知识图谱更能体现出知识的脉络和逻辑，将知识点之间的关联关系以图谱的方式可视化展示。本文中我们探讨了如何将微积分的知识点以知识图谱的形式有机串联起来，讲述了构建微积分知识图谱的具体步骤。在教学过程中，教师可以引导学生利用微积分知识图谱进行高效学习，使学生能理解微积分的整体框架，知道知识点的来龙去脉，用更宏观的视角来理解和学习微积分。再者，通过将知识图谱与大数据、机器学习等相结合，优质教育资源共享的目标有望更好实现。利用网络知识库，知识图谱可以帮助学生更高效地获取知识，同时通过个性化学习推荐帮助学生进行针对性学习。

知识图谱在大学数学教学领域还未得到广泛的应用，我们对微积分知识图谱的构建仍处于探索阶段，后期还有非常多的工作要做，比如本体的进一步补充，对关联关系的进一步改进，图谱可视化的实现等。未来我们也将进一步研究如何将微积分知识图谱与人工智能技术结合，使得教学中一些深层次问题得到解决。我们也希望我们的工作能对其他教师有所启发。总之，教师对教育领域中新兴方法的适应、学习与应用将有助于其更好地顺应时代的潮流和探索优秀的教育模式，进而在教学工作中不断创新突破。

参考文献：

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[責任编辑：余大品]