分式方程无解与增根的辨析应用

杜涛

【摘要】

中学阶段在实数范围内求解分式方程的过程中出现增根，导致分式方程无解的现象很普遍.正因如此，有些学生认为分式方程无解是由增根引起的，这一认识误区干扰了学生的正确思维，尤其是在含有字母的分式方程中，对于分式方程无解和分式方程的增根，在解答过程中仍存在诸多争议，本文试图结合实例对分式方程无解与增根进行辨析，弄清二者之间的联系与区别，得到正确简洁的解题思路.

【关键词】分式方程;解;无解;增根;求值

1 引言

分式方程的解是指在确保分式方程有意义的前提下适合原方程的未知数的值;若不存在适合原方程的未知数的值，称之为无解.解分式方程是把分式方程转化为整式方程来求解未知数的值的过程，由于扩大了未知数的取值范圍而产生的不适合原方程的未知数的值，称之为增根.

从概念上区分分式方程无解和分式方程的增根，应该是非常清晰明确的.但对于具体问题的解答，仍存在诸多争议，究其原因是对分式方程在无解与增根的理解上存在误区造成的.本文结合实例对分式方程无解与增根进行辨析，弄清二者之间的联系与区别，分式方程无解并非都由增根引起的，有增根也并非分式方程无解.

2 辨析

既然分式方程可以转化为整式方程（中学段仅研究可化为一元一次方程或者一元二次方程的分式方程），那么我们就从讨论整式方程的解入手.

3 结论

分式方程无解与增根包含以下几种情形：

（1）原分式方程是矛盾等式或化为整式方程无解（实数范围），不存在增根，这里增

加了对数学分析问题选项的误导和干扰，更是对数学思维的考验.

（2）原分式方程化为整式方程有解，但这个解是原方程的增根，从而原分式方程无解.

（3）原分式方程化为整式方程有解，但其中有的解是原方程的增根，还存在使原方程成立的解.

综上，分式方程无解有时是由增根造成的，但分式方程无解并不一定存在增根或者由增根引起，分式方程有增根也并非无解.

【参考文献】

[1]南秀全.黄冈中考兵法（数学）[M].西安：陕西师范大学出版社，2003.