在动态思维的培养中提升学生的分类能力

2020-12-28王帅兵

数学学习与研究 2020年16期

关键词：函数

王帅兵

【摘要】

动态问题作为初中数学学习的一个有效载体，考查的是学生的化归、分类等数学思想，很多压轴题也以此为基础来设计，以动态思维来研究、解题，它已成为初中数学教与学中不可或缺的组成部分.

【关键词】动态思维;函数;分类能力

动态思维，是指在解题过程中，能够根据题目不断变化的条件场景，调动对应知识，动态地研究问题、解决问题的一种思维活动过程，它最突出的特性是变化、建构和创造生成，里面包含了一个从读题、分析到选择、建构创造的完整思考过程.

一、数轴：动态思维启蒙

数轴由点组成，本身就具有动态特性，不管是点还是线，在由数轴生成的背景范围里，数学研究的内容就已经动起来了，学生学习时就必须调动思维，在分类创造中解决问题.

（1）数轴上点的运动

数轴在本质上是一条直线，构成这条直线的点对应着我们数学中的每一个数，其无限延伸的特点，给了数无限的活动空间.点在直线上左右移动产生的距离，不仅表现着数轴的几何特征，也把思维动起来.

如图1，一个机器人从数轴上A点出发，先向左运动到点B，再向右运动到点C，最后向左运动到点D，在整体运动过程中，这个机器人总的运动路程是多少？

在这里考的就是动态思维，思维要随着机器人移动、分段以解决问题.由A点（对应数为1）到B点（对应数为-2）是一段，距离为1-（-2）=3;由B点（对应数为-2）到C点（对应数为4）是一段，距离为4-（-2）=6;由C點（对应数为4）到D点（对应数为-5）是一段，距离为4-（-5）=9.这个机器人总的运动路程是3+6+9=18.

类似的题目还有：如图1，一个机器人从数轴上A点出发，先向左移动3个单位，再向右移动4个单位，再向左移动5个单位，再向右移动6个单位……再向右移动2020个单位，最后这个机器人所在点表示的数是几？这个机器人走过的路程是多少？

在这里，要解决问题，首先要跟随这个机器人动态地研究问题、分析问题，发现移动规律：每两次从所在位置向右移动1个单位，分组计算后问题得到解决.

（2）数轴上的动态思维与分类

点的移动带来的是位置的变化，位置的变化造就距离的产生，这个距离在数轴上指的是两点之间的距离，往往用绝对值来表示.如图2所示，我们可以直接求出A，B两点之间的距离，因为距离非负，所以我们用通用式子表示为〖JB（|〗a-b〖JB）|〗.

在动态环境下，数轴上形成的两定一动问题（或多定一动问题），就要在动态思维下，采用分类的方法来解决.这里举一个简单的例子：求的最小值.表示的是表示数a与1的两点之间的距离，表示的是表示数a与-3的两点之间的距离，由此可见，题目要求的是表示数a的点到表示数1与数-3的点之间距离和的最小值，这是个两定一动问题.我们不妨先把确定的数1与-3表示在数轴上，如图3.

综上，最小值为4.

初中数学的学习内容多样，极富变化，数轴既是入门的认识课程，也是代数动态和几何动态完美结合的基础.学生在学习时要注重思维能力的培养.它对发挥学生的思维潜力、创造性地解决问题具有不可替代的作用.

二、动态思维与函数

函数所研究的是变量之间的关系.在动态场景里，不管是一次函数，还是反比例函数或二次函数，我们都会把其放在平面直角坐标系中，用数形结合的动态思维来研究点动规律，以及所形成的函数特征和图形特征.这里以一次函数和二次函数为例.

（1）一次函数中的动态问题列举

一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴会形成一个直角三角形（这里不考虑正比例函数），利用这个三角形，我们可以考查面积问题、存在问题、相似问题等多种综合性问题.

例1

如图4，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），在y轴上是否存在一点P，使S△ABP=4？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

分析：点P是y轴上的一个动点，依据点P的运动轨迹，可以分为3个位置：y轴正半轴、原点和y轴负半轴，然后画出草图即可求解.

①当点P在y轴正半轴上时，为图5中P1位置，此时，以AO为高、BP为底，可以求出BP=4，点P的坐标为（0，6）;

②当点P在原点时，如图6，S△ABP=2，不满足题意;

③当点P在y轴负半轴上时，为图7中P3位置，此时，以AO为高、BP为底，可以求出BP=4，点P的坐标为（0，-2）.