如何提高数学课堂教学效益
2020-12-24林祖灿
林祖灿
【摘要】数学课堂教学是以学生为主体，以教师为主导的.教师在引导学生对数学问题进行思考的过程中，师生可以互相讨论，互相交流，互相切磋，产生思维碰撞，共同探究知识间的来龙去脉以及知识的形成过程，学生从中构建自己的知识体系，领会数学思想、方法，掌握解题思路、技巧，总结解题规律，举一反三，融会贯通，灵活运用，达到“做一题通一类”的目的，进而提高课堂教学效益.
【关键词】主体;主导;思考;运用;提高;效益
数学课堂教学要以高考考点为主线，以数学问题为导向，以问题形式呈现数学知识的产生及形成过程.教师通过对同一考点的考题进行变式讲解，
引导学生对数学问题积极思考，
有助于学生对所学知识点的理解和掌握.师生可以互相讨论，互相交流，促学促进，共同提高，共同探究知识间的来龙去脉，学生从中形成自己的知识体系，从而掌握所学的知识及方法.下面，结合下面教学实际谈谈如何提高数学课堂教学效益.
一、加强“双基”教学，进行变式训练
教师在数学课堂教学中，加强“双基”教学，进行基础知识与基本技能的训练，指导学生运用所学的数学知识把已知条件转化为数学结论，再把数学结论转化为求解问题，使学生领会解题方法与技巧，并对题目的已知条件与求解问题中产生的一些可能变化情况进行探究，一题多变，一题多解，变式训练，从而达到“做一题通一类”的目的，这样可以胜过做大量习题，并可以使学生更好地掌握知识点，熟练解题方法，达到意想不到的效果.
例1（2003年河南高考题第20题改编）已知c>0，设命题A：函数y=cx在R上单调递减，命题B：不等式x2-x+12c>0的解集为R，如果命题A和B都正确，求c的取值范围.
解析由已知可得，命题A为真，则0 例2（2013江西高考题理科第17题改编）已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2-（n2-1）Sn-n2=0，求數列{an}的通项公式an. 解析由已知Sn2-（n2-1）Sn-n2=0得，（Sn-n2）（Sn+1）=0.由于{an}是正项数列，Sn>0，Sn=n2.于是a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1.综上，数列{an}的通项an=2n-1.如果把已知条件进行变换，见例3. 例3已知正项数列{an}满足：an2-（n2-1）an-n2=0，求数列{an}的通项公式an. 解析根据题意得，（an-n2）（an+1）=0， ∵an>0，∴an=n2. 例4（2019全国1高考题理科第21题改编）为了治疗某种传染病，研制了A，B两种新药.要了解哪种新药更有效，进行了果蝇动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只果蝇对药效进行对比试验.对于两只果蝇，随机选一只施以A药，另一只施以B药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的果蝇比另一种药治愈的果蝇多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便说明问题，约定：对于每轮试验，若施以A药的果蝇治愈且施以B药的果蝇未治愈，则A药得1分，B药得-1分;若施以B药的果蝇治愈且施以A药的果蝇未治愈，则B药得1分，A药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.A，B两种药的治愈率分别记为m和n，一轮试验中A药的得分记为ξ.求ξ的分布列. 解析ξ的所有可能取值为-1，0，1，P（ξ=1）=m（1-n），P（ξ=0）=（1-m）（1-n）+mn，P（ξ=-1）=（1-m）n.如果把题设与结论进行变换，进行一题多变，一题多练，变式训练，那么能达到灵活应变的目的. 例5（2008全国1高考题理科第20题改编）已知5只果蝇动物中有1只患有某种传染病，需要通过化验血液来确定患病的果蝇动物.血液化验结果呈阳性的即为患病果蝇动物，呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法：方案A：逐个化验，直到能确定患病果蝇动物为止.方案B：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性，则表明患病果蝇动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病果蝇动物为止;若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验.X表示依方案B所需化验次数，求X的分布列. 解析X的可能取值为2，3.P（B1）=C34C35+C24C35·C13=35，P（B2）=25，P（X=2）=P（B1）=35，P（X=3）=P（B2）=25， 所以EX=2×35+3×25=125=2.4（次）.对于同一类题的解题套路是完全相同的.教师在课堂教学时，应当多引导学生进行变式训练，运用类比的方法，弄清它们的区别和联系，以一变应万变，举一反三，融会贯通.抓基础知识就是抓好数学课本习题的变式训练，抓基本技能就是抓好将数学已知条件转化为数学结论.在课堂教学中，要让学生真正了解数学解题方法与技巧，这对学习数学是至关重要的. 二、构建知识网络，渗透数学思想 教师在数学课堂教学中，要抓住教材中的知识点，将新旧知识联系起来，使学生能够运用所学的知识点去解题，总结解题规律，掌握解题套路，引导学生从不同角度思考问题，分析问题，解决问题，构建知识网络，加强知识间的联系，弄清知识的来龙去脉，从而形成自己的知识体系，学会在面对不同的题型时采用不同的解题方法. 例1若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图像关于直线x=-π8对称，则m=. 解析依题意得，取f（0）=f-π4，则m=-1.本题利用对称的知识选择特殊值进行解题，避免了烦琐的计算，而且不容易出错.解题时，学生应根据题目的已知条件选择合适的特殊值，因题而异，举一反三，触类旁通，达到“豁然开朗”的目的. 例2（陕西高考12改编）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）. A.x+23=[x]B.[-x]=-[x] C.[x]+x+23=[3x] D.[3x]=3[x] 解析取特殊数值x=13，排除A，B，D，故选C. 例3（北京高考6改编）已知{an}为等比数列，下列结论正确的是（）. A.若a1=a3，则a1=a2 B.若a3>a2，则a4>a3 C.a1+a3≥2a2 D.a21+a23≥2a22 解析取特殊数列-1，1，-1，1，…，排除A，C，取特殊数列1，-2，4，-8，…，排除B，故选D. 例4过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作一直线交抛物线于A，B两点，若AF，BF的长分别为a，b，则1a+1b=（）. A.14pB.4p C.2pD.2p 解析取特殊位置线段AB为通径时，则a=b=p，故选D. 例5（湖南高考6改编）已知e1，e2是单位向量，e1·e2=0，若向量a满足|a-e1-e2|=1，则|a|的取值范围是（）. A.[1，2+2] B.[1，2+1] C.[2-1，2+2] D.[2-1，2+1] 解析取特殊向量e1=（0，1），e2=（1，0），則|a-（1，1）|=1，转化为a=（x，y）在以（1，1）为圆心，以1为半径的圆周上运动，而|a|表示圆周上的点与原点的距离，故选D. 高考试题具有设置巧妙、计算量不大、“秒杀”时易错的特点.对于容易题可以用直接法;对于与几何图形有关的题，应先画出图形，再用数形结合的方法或者几何法;对于难度比较大的题，经常使用一些解题技巧，同时注意结合图形，多思少算.高考试题减少了计算量，增加了学生的逻辑思维与推理能力的考查，考查学生观察、分析、判断、比较的能力.这类题采用特殊值法比较容易计算，如果用一般解法就要通过繁杂计算.但采用特殊值法解题时应注意：（1）所采用的特殊值要方便计算，而且要符合题目的已知条件;（2）特殊只能用于否定一般，不能用于肯定一般;（3）用特殊值法解选择题时，当选取某一特殊值出现两个或两个以上的答案都正确时，要根据已知条件再选一个特殊值代入验证，直到找到正确唯一的答案为止.解答选择题、填空题时应根据题目的已知条件与求解问题，选择合适的特殊值，这是解答选择题、填空题的基本方法.在课堂教学时，教师应有意识地根据所学的知识点编写题目，进行有的放矢的训练，这样学生不仅巩固了知识点，而且掌握了方法，从而有效提高课堂教学效益. 三、倡导通性通法，淡化解题技巧 高考试题一般有多种解题方法，但千变万化都离不开通性通法.教师在数学课堂教学中应立足于通性通法，淡化解题技巧.高考试题最大的特点是灵活且新颖，可适当选择分类讨论思想、数形结合思想、方程与函数思想、化归与转化思想等来解题.在数学课堂中，学生应根据所学的知识点总结题型，归纳解题方法，进行一题多变，一题多练，变式训练，从而掌握不同题型的不同解题套路. 例1（湘教版高中数学选修1-1课本第79页19题改编）设直线l与抛物线y2=mx（m>0）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中y1>y2，（1）若OM·ON=0，MN·Ox=0，求l与x轴的交点坐标.（2）是否存在定点P，使得当l经过P时，总有OM·ON=0成立？ 解析（1）根据对称性，M，N两点关于x轴对称，由题意得，x1=x2，y1=-y2，x1=y1=m，l与x轴的交点坐标（m，0），（2）存在定点P（m，0），使得当l经过P时，总有OM·ON=0成立，设l：x=ty+m，与抛物线y2=mx（m>0）联立得：y2-mty-m2=0，由韦达定理得：y1+y2=mt，y1y2=-m2， ∴OM·ON=x1x2+y1y2=（ty1+m）（ty2+m）+y1y2=（t2+1）y1y2+mt（y1+y2）+m2=0.因此存在P点.学生通过对同一类题的变式训练，不仅掌握了知识点，而且还明白了解题套路. 例2（2004重庆高考题21改编）设直线my=x-4与抛物线y2=4x交于相异两点M，N，以线段MN为直径作圆C（C为圆心），试证：抛物线顶点在圆C的圆周上，并求m的值，使圆C的面积最小. 例3（2005北京高考题18改编）O为坐标原点，过点P（4，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=4x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，（1）写出直线l的方程，（2）求x1x2与y1y2的值，（3）求证：OM⊥ON. 这类题解题思路完全相同，都运用了抛物线的重要结论：设直线l与抛物线y2=2px（p>0）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若直线l过点（2p，0），则OM⊥ON.其逆命题也成立.因此，在数学课堂中，学生应多留心课本中的一些重要结论，这样解题时就能得心应手，稳操胜券.同时，学生平时应多阅读高考试题的评分标准，做到推理有据，环环相扣，规范书写过程，避免“会而不对”“对而不全”的情形，做到“颗粒归仓”，达到“会而全对，对而得满分”的目的. 总之，在数学课堂教学中，教师应加强“双基”教学，对学生进行基础知识与基本技能的训练.学生通过一题多变，一题多练，变式训练，巩固所学的知识点，构建知识网络，加强知识间的联系，弄清知识间的来龙去脉，形成自己的知识体系，总结不同题型的不同套路，归纳解题方法，从而达到熟练的程度.教师要提倡通性通法，淡化解题技巧，引导学生把已知条件转化为数学结论，再把数学结论转化为求解问题，这样题目就迎刃而解了.教师要有目的地讲解，给学生讲明如何将题目的已知条件转化为数学表达式，再把数学表达式转化为所求结论，从而达到求解目的，起到举一反三，融会贯通的作用，做到考试时能够快速而准确的答题，从而提高课堂教学效益. 【参考文献】 [1]钟山.专题全解：高中数学思想与方法[M].北京：现代教育出版社，2009. [2]林新建.数学高考解题的“三化四策八关注”[M].厦门：厦门大学出版社，2015. [3]王钦敏.教材边上好数学[M]福州：福建人民出版社，2014.
