简析中考题探索线段长度问题的求解策略

赵福

【摘要】在初中的数学学科中，关于几何部分，学生主要学习平面图形，而线段是构成平面图形的要素，因此解析初中几何时，学生必须熟练掌握线段长度的解决方法.在中考中，几何计算占比较大，属于重点得分项.本文就中考题中解析线段长度的方法进行分析，旨在为今后的教学提供帮助.

【关键词】中考题;线段;求解

在初中阶段，平面几何为数学中的重点，在考试中占比较大.而解决此类问题时最常见的是求解线段长度.因此，本文就线段长度的求解方式总结出以下方法.

一、在一条线段上同时存在多条线段

例1如图1所示，已知线段AB的长度为20，AC的长度为7，求BC的长度.

分析这道题属于平面几何中最简单的求线段长度问题.通过观察线段，学生可以发现C在AB上，AC+BC=AB，因此BC=AB-AC.解这类题的关键就在于读图，确定点与线段的位置[1].

二、求解三角形的边长或高

例2如图2所示，在直角三角形ABC中，已知AB长度为10，AC长度为8，求BC的长度.

分析在直角三角形中，已知斜边长与一条直角边长，求另一条直角边长，学生可以果断利用勾股定理进行求解.这类题的解析思路是依据图形的性质.

例3如图3所示，在等腰三角形中，AC长度为6，AB长度为10，求三角形AB边上的高.

分析解析这道题需要根据图形性质.因为它是等腰三角形，所以AC=BC=6，且AB上的高将三角形ABC分为两个完全一样的直角三角形.因此，AB2是分割后小直角三角形的一条直角边.因为已知斜边长，所以學生可以利用勾股定理算出高.

三、将问题转化为直角三角形求解

例4如图4所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，求AB的长.

解过点C作CD⊥AB于点D，这样就构造了两个直角三角形.在△BCD中，tanB=CDBD，所以DB=3CD.由勾股定理，得CD=1，BD=3，在△ACD中，易求AD=3，所以AB=3+3.

此题为作辅助线引出直角三角形的线段长度问题，在中考中十分常见，如学生不能有效利用转换思维，将无法求得这道题的答案，因此教师在实际教学中应给予学生引导，帮助学生掌握辅助线应如何建立.

四、利用基本图形定理求出结果

例5如图5所示，已知四边形ABCD为正方形，DF垂直于CE，且DF=10，求CE.

分析解决这类题时，学生如果对基本图形定理的知识掌握不清晰，就无从下手，因为题目表面所给出的数据少得可怜.在掌握定理后，解题要容易很多.本题中，已知三角形BCE与三角形CDF为直角三角形，且DF垂直于CE，因此可以利用“AAS”定理证明这两个三角形全等，那么CE的长度就可以轻松求出了.

通过这道题我们可以看出基本图形定理对于线段的长度的求解有至关重要的帮助，如果掌握不清，就难以下手[2].

五、利用几何直观性确定已知量关系

几何直观性是将抽象的数学知识与数学语言通过直观图形进行展示.几何直观性的具体应用在于将几何图形与代数问题相结合，从而使数学问题具体化，让线段长度的抽象问题变得清晰化，进而使问题更容易解决.几何直观性思想的应用可以有效提高学生对线段知识的理解能力，可以帮助学生

熟练掌握

课堂教学中有关线段长度的重点知识.

例6如图6所示，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，若CD=10cm，求AB.

分析观察图形可知DC=AC-AD，根据已知的线段比的关系，AC，AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB.

解因为点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，

所以AC=512AB，AD=516AB，

所以DC=AC-AD=512

AB-516AB=548AB，

又因为CD=10cm，所以AB=96cm.

在教学中遇到此类问题时，教师可以通过对学生进行几何直观性的引导，使学生学会利用几何直观性的思想将线段视为图像与代数的组合，这样解题会变得更加简便.因此，利用几何直观性可以有效提高学生的图形拼接解题能力，使学生形成固定的解题规律.通过在解题中有效应用几何直观性思想，学生对线段长度知识的掌握得到了有效提高.

六、利用线段中点性质进行长度变换

传统初中数学线段长度问题整体教学内容较为“抽象”，且整体概括性较强，学生难以通过传统的教学深入理解教学内容.学生习惯于用惯性思维来思考所遇到的数学问题，这样导致了学生逐渐出现“数学思维障碍”.而且初中数学线段长度问题的内容通常晦涩难懂，学生更习惯从问题的表面理解问题，以习惯的认知来解决数学问题，这样的情况导致学生缺乏数学思维能力.学生在接受新知识的过程中，长期缺乏系统性认知，从而导致存在知识认知差异，这样给提升学生的数学思维带来了影响.因此，教师在中考线段长度习题教学中应利用线段中点性质进行长度变换，以此使抽象的线段知识变得更加直观.

例7如图7所示，已知线段AB=80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB=14cm，求PA的长.

分析从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可.

解因为N是PB的中点，NB=14cm，

所以PB=2NB=2×14=28（cm），

又因为AP=AB-PB，AB=80cm，

所以AP=80-28=52（cm）.

提升学生的数学思维是当前时期教学改革的整体目标，因此在例题解答和课堂教学中，教师应为学生提供相关的数学示例，然后让学生分组或独立分析这些示例以找出所需的数学元素，学生可以通过分析示例获得相关的数学概念和定律.在此类线段问题的几何计算中，教师的解答和教学必须要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系，且习题解答必须按照步骤进行.

七、利用方程求解线段长度

例8如图8所示，O为弧CD所在圆的圆心，CD长度为600，E在弧CD上，OE垂直于CD，垂足为F，EF的长度为90，求CO.

分析已知三角形OCF为直角三角形，CD=600，F点为垂足，则CF=DF=300，OF=CO-90.有了这些数据就可以列出方程了，设CO为x，则OF=x-90.根据勾股定理可得x2=3002+（x-90）2，解出x的值即可.

八、利用相似三角形求解线段长度

相似三角形拥有对应边成比例的性质特征，所求线段是其中一个三角形的一条边，然后在另一三角形中找到相似的边元素，依此罗列出计算等式，最后求出线段的具体长度.

例9如图9所示，AB为圆的直径，BC为圆的切线，D是圆上一点，并且AD平行于CO，AB=6，BC=4，求线段AD的长度.

分析在本题中，所求线段AD为三角形ABD的一条边，已知三角形ABD一条边AB长度为6，三角形OBC一条邊BC长度为4，AB为圆的直径，因此可得：OB=12AB=3，∠ADB=90°.由BC是圆的切线，可得∠OBC=90°，利用勾股定理可以得出OC的长度：OC2=OB2+BC2=32+42=25，OC=5.由AD平行于OC，可知∠DAB=∠BOC，因此可得三角形ABD∽三角形OCB，可以得出ADOB=ABOC，在这个等式中，其他三项都是已知元素，只有AD一个未知元素，运算即可得出AD=3.6.

利用相似三角形对应边成比例的性质求解线段长度，这是很常见的方法之一，难点在于找到所求线段和已知线段是属于哪两个三角形的边，再找出证明这两个三角形相似的条件，即可求出线段的长度.

九、根据图形已知条件，利用方程方法求解

兴趣是最好的老师，兴趣同时也是学生学习的基本动力，因此教师可以利用这一点在课前首先提出问题让学生思考，建立相关的教学活动吸引学生的注意力，利用活动内容的丰富性提升学生的学习兴趣，这样可以使学生伴着愉快的心情参与到数学课堂中来.

例10如图10，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN=21，求PQ的长.

分析教师可以根据学生的兴趣将线段想象为其他事物，如尺子等进行解题.根据线段比及中点性质，可以设AC=2x，则AB上每一条短线段都可以用含x的代数式表示.观察图形，MN=MC+CD+DE+EN，学生可以将其转化成关于x的方程，先求出x，再求PQ的长.

解若设AC=2x，则CD=3x，DE=4x，EB=5x，MC=x，EN=52x，于是根据MN=MC+CD+DE+EN得到21=x+3x+4x+52x，解得x=2.所以PQ=PD+DQ=12（CD+DE）=72x=7.

在习题解答完成后，教师可以为学生讲授方程法的由来，使学生加深对方程法的印象，进而有效掌握此类习题的解答方式.

由于初中学生年龄较小且自控能力差，天生活泼好动，因此如何集中学生注意力是当前初中数学教学的重点问题.在线段长度教学的准备上，教师需要多费心思，努力提升学生的课堂学习兴趣，进而使学生可以将注意力全部放在课堂学习中.

结语

求解线段的长度其实有很多方法，以上只是笔者归纳总结的常见的几种方法.对于一些中考常见的重点题型，老师务必引导学生去练习.学生只有掌握越来越多的技巧，对于几何学习的逻辑思维程度才会越来越高，解题的灵活性也会越来越好.

【参考文献】

[1]周丽芳.建立数学模型思想，提升问题解决能力——以初中数学线段和的最值问题为例[J].中学数学，2018（16）：88-90.

[2]王霞.初中数学二次函数中一类线段最值问题的快速求解方法[J].数学教学通讯，2018（17）：79-80.