关于复合函数求导教学的思考

黄晓悦

【摘要】高职院校中，高等数学是公共基础课，学生学习高等数学的目的是培养学生的数学思维，更好地为专业服务.本文以复合函数求导为例，从教师教学的视角简要分析复合函数求导内容，希望学生在学习中，提高数学素养，将数学知识融入专业课中，为专业服务.

【关键词】复合函数;求导;教学

在高职院校，部分专业会开设高等数学课程.高等数学是公共基础课，学生学习高等数学的目的是

培养学生的数学思维

，更好地为专业服务.众所周知，函数在数学中的地位举足轻重，它涉及的知识点繁多，综合性强，是数学教学的核心内容.在微分学中，复合函数求导的链式法则是函数求导运算的基本工具.下面，本文就以复合函数为例，简要阐述关于复合函数求导教学的思考.

复合函数求导包括两个知识点，一个是复合函数，另一个则是求导.学生只有将这两个知识点都掌握，才能够顺利地求解复合函数求导的题目.那么，什么是复合函数？如何认识复合函数？怎样求导复合函数？

我们先来谈谈第一个问题：什么是复合函数？

学生理解和掌握复合函数概念的前提是充分掌握基本初等函数，而基本初等函数又有哪些呢？现在我们来整理一下，基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数.基本初等函数和复合函数之间的关系是什么呢？如果基本初等函数的自变量位置不是自变量自己，而是自变量的一个函数，那么此函数必为复合函数.或者说，复合函数就是一个“函数的函数”.接下来，我们来举一些例子认识一下复合函数.

例1y=（1-x2）5是复合函数吗？如果是，请问它由哪些基本初等函数构成？

例1中的函数是复合函数，它是由y=u5和u=1-x2这两个函数复合而成的，前者是幂函数，后者是二次函数.u起到桥梁的作用，称为中间变量.

例2y=2sin2x是复合函数吗？如果是，请问它由哪些基本初等函数构成？

例2中的函数也是复合函数，它是由y=2u，u=v2，v=sinx这三个基本初等函数复合而成的，其中y=2u是指数函数，u=v2是幂函数，v=sinx是正弦函数.u和v起到桥梁的作用，称为中间变量.

在以上两个例子当中，我们介绍了复合函数和基本初等函数的关系.教师在讲解时，需要帮助学生复习基本初等函数的类型及表达式等内容，巩固学生的基础知识.在学习中，学生要能够从一个较为复杂的函数表达式中通过引入中间变量分解出基本初等函数，并且能说明基本初等函数的类型及表达式，而且能够举一反三，反过来，也能将基本初等函数组合成复合函数，从而使逆向思维得到锻炼.

在学生充分掌握复合函数概念的基础上，教师应该怎样讲解复合函数的求导法则，学生才能容易理解呢？教师在讲解复合函数求导概念之前，可以先给学生下发一些预习材料，如阅读材料——《事物的相对性》，这篇阅读材料从“牛顿力学认为空间是绝对的”出发，穿插“宇宙中不存在绝对运动，只有相对于另一体系的相对运动概念”，同时列举了“绝对时间是错误的”“爱因斯坦相对论”等材料，最终阐明一个观点，那就是对于人们的日常工作、生活来讲，事物的相对性说明我们看问题、做事情应该因时、因地、因人而异.

有了这篇阅读材料，教师在讲解复合函数求导概念时，应该着重强调复合函数求导过程中的相对概念，也就是“谁对谁的求导”，换句话说，谁是自变量，谁是函数，谁是中间变量.复合函数求导是函数y对自变量x求导，而不是函数y对中间变量u求导，也不是中间变量u对自变量x求导.因此，复合函数的求导法则是链式法则（y′x=y′u·u′x），也就是说，学生在求解复合函数求导题目时，需要分别求出函数y对中间变量u的导数和中间变量u对自变量x的导数，然后再将两者相乘，才能够得到函数y对自变量x的导数.

接下来，我们简要证明一下链式法则，证明過程如下：dydx=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0（ΔyΔu·ΔuΔx）=limΔx→0ΔyΔu·limΔx→0ΔuΔx=dydu·dudx.在学生理解并掌握链式法则的前提下，教师可以列举几个例子来引导学生使用链式法则.

例3求下列函数的导数.

（1）y=ex2（2）y=sin（1-2x）（3）y=cos2x

解（1）函数y=ex2由函数y=eu和u=x2复合而成.

因此，由链式法则可知，

y′=（eu）′·（u）′=（eu）′·（x2）′=eu·2x=ex2·2x=2xex2.

（2）函数y=sin（1-2x）由函数y=sinu和u=1-2x复合而成.

因此，由链式法则可知，

y′=（sinu）′·（u）′=（sinu）′·（1-2x）′=cosu·（-2）=-2cosu=-2cos（1-2x）.

（3）函数y=cos2x由函数y=u2和u=cosx复合而成.

因此，由链式法则可知，

y′=（u2）′·（u）′=（u2）′·（cosx）′=2u·（-sinx）=2cosx·（-sinx）=-2sinx·cosx=-sin2x.

在求函数的导数时，学生需要仔细观察复合函数的结构，学会引入中间变量，首先将复合函数进行拆分，从外向内逐层拆分.然后，使用链式法则对复合函数进行求导.但学生初学时，在求导过程中，应写清楚每一步，熟练后则可以省略简要步骤，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导.最后，要将求导结果进行化简还原，结果中不能出现还未化简的表达式，同时不能出现中间变量.

如果学生对以上三道练习题已经充分掌握，那么教师可以尝试加大难度，将复合次数增加，或者提高函数形式的复杂性.

例4求下列函数的导数.

（1）y=（lnlnx）3（2）y=x·sin1x

解（1）函数y=（lnlnx）3由y=u3，u=lnv，v=lnx復合而成.

因此，由链式法则可知，

y′=（u3）′·（lnv）′·（lnx）′=3u2·1v·1x=3（lnv）2·1v·1x=3（lnlnx）2·1lnx·1x=3（lnlnx）2lnx·x.

（2）在函数y=x·sin1x中，sin1x是复合形式，我们可以先求出sin1x的导数，假设f=sin1x，则

f′=sin1x′=cos1x·-1x2=-1x2cos1x

利用导数的运算公式，可以进一步求出

y′=（x）′·sin1x+xsin1x′=1·sin1x+x-1x2cos1x=sin1x-1xcos1x

相较于之前例3中的三个练习题，例4中的两个练习题难度明显增加.第一个题目中复合函数的复合次数是三次，因此学生在求解题目时，必须先从外到内，将复合函数拆分，再进行求导运算;第二个题目是初等函数的求导运算，需要使用复合函数的链式法则，以及导数运算公式的乘积运算法则.学生在求解题目时，要把握好函数的整体结构，分析出哪部分表达式是复合的，并且能灵活运用导数的运算法则，否则极有可能出错.

除此之外，还有一类题目非常常见，也是求导题目中的核心内容，我们一起来看一个例子.

例5求曲线y=e2x+x2过点（0，2）的切线方程.

这道例题的形式与之前都不同，之前的例题都是直接告诉函数表达式，请学生求出对应的导数，而例5是求曲线的切线方程，那么，切线方程和复合函数求导之间又有什么联系呢？

下面，我们就一起来求解这道例题.

解y′=（e2x+x2）′=（e2x）′+（x2）′=e2x·2+2x=2e2x+2x

切线的斜率为k=y′x=0=2e2x+2x=2.

利用直线的点斜式方程可得，切线的方程为

y-2=2（x-0），化简可得，y=2x+2.

因此，切线方程为y=2x+2.

在例5中，曲线的表达式是复合函数，由导数的几何意义我们知道，过点（0，2）的切线的斜率就是该复合函数的导数，因此教师在讲解这道例题时，有必要帮助学生复习一下导数的几何意义，但不必长篇大论，这样学生就可以理解为什么需要先求导，才能求出切线的斜率.另外，由题目的已知条件可判断出利用直线的点斜式方程可以顺利求出过点（0，2）的切线方程，因此教师需要带领学生分析题目已知条件.当然，这个教学过程应该在第一步进行.题目中已经告诉切线上一点的坐标，就是（0，2），并且切线的斜率也是可以求出来的，因此使用直线的点斜式方程来求解题目最合适不过，这个步骤可以让学生自己思考，得出求解切线方程最恰当的方法.

教师在讲解时，可以带领学生参照例5的分析过程，鼓励学生独立思考，踊跃提出自己的想法和见解.教师对独到的见解应加以鼓励，对不正确的想法应加以纠正，逐步地引导学生完成题目，并总结同类型题目的求解方法和解题过程.学生在独立完成题目后，自信心会大大增强，学习热情也会高涨，对今后学习数学大有帮助.

最后，总结一下关于复合函数求导教学的思路.

一、学情分析.教师需要提前了解学生对复合函数概念的掌握情况，不同院系、不同专业的学生数学基础存在差异，因此教师充分分析学生基础是进行复合函数求导教学的前提条件之一.

二、复合函数概念复习.在学情分析过后，教师对学生基础有了整体把握，并发现这时能够掌握复合函数概念的学生占全部学生的一少部分，因此教师有必要带领学生共同复习复合函数的概念，并加以练习，巩固学生对复合函数概念的理解.

三、教师通过材料引入，引导学生发现复合函数求导法则.在这一环节，教师需要提前将课外阅读材料下发给学生，学生在课前学习材料，讨论交流，体会事物的相对性这一概念，为后续学习复合函数求导法则打下基础.课堂上，教师可以根据学生课前的阅读心得，引导学生探讨复合函数求导运算中的相对性概念，即函数y对自变量x求导.在相对性概念中，学生能够理解复合函数求导中使用链式法则的原因.

四、学习例题，完成练习，巩固链式法则.学生学习链式法则后，需要趁热打铁，学习例题，掌握链式法则的解题格式，并在练习题中加以运用，这样学生对链式法则的认识会更加透彻.

五、增加难度，锻炼学生的数学思维和解题能力.学生在学会简单使用链式法则后，教师可以适当增加难度，帮助学生进一步认识链式法则.在整个运算过程中，学生的解题能力、分析能力都会得到锻炼和培养，学习数学的信心也会增强.

复合函数求导的题目千变万化，本文无法一一列举，仅列举了一些具有代表性的例题，但万变不离其宗，教师在讲授复合函数求导题目时，应当准确把握复合函数求导题目的类型，选择典型例题进行主要分析和讲解，在讲解时需要注重学生在课堂中的主体性，带领学生分析题目，把握重点，规范解题格式.教师在课堂上适当穿插练习，循序渐进地引导学生自主发现问题、思考问题、解决问题，及时巩固新知，最后达到举一反三的目的.学生在学习过程中，通过独立思考、类比归纳、合作交流等方式，学习例题，完成随堂练习，大大提升学习效率，有效激发数学学习兴趣，提高数学素养，同时学生的情感世界获得发展和提升，并为专业课的学习打下坚实的数学基础.

【参考文献】

[1]陈存.复合函数求导的链式法则证明方法解析[J].数学学习与研究，2018（22）：18;2018（22）：20.

[2]胡珍妮.复合函数的求导方法[J].中学数学教学参考，2017（15）：67-68.

[3]李以渝.高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2013.