立足推理，亲历“再创造”的过程——《圆的面积》教学的深度追问与重构

江苏南京市溧水区状元坊小学 程 娅

一、叩问：教什么，怎么教，有什么用

一个偶然的契机，笔者受命执教苏教版数学五年级下册《圆的面积》。这一课时安排了3个例题，容量大，难度高，既要有活动操作的体验，又要逻辑推理的发展，是大家公认的“硬骨头”。笔者开始思考：教材为什么这样安排？这样的安排跟学生的素养发展之间有怎样的联系？学生的起点在哪里？怎样引导学生经历知识的“再创造”？

二、慎思：“起点”和“终点”之间需要什么

1.教材的立意

（1）关于例7

几个版本的数学教材都相继取消了数方格，那数方格在这里的作用是什么？回顾长方形、平行四边形的面积公式推导过程，都是要先数方格。那数方格的作用仅仅是比较、估算吗？继续回顾数方格是缘于面积的比较，面积单位的产生，就知道教材坚持数方格传递的思想：数方格是为了度量。面积是度量几何学的重要组成部分，任意一个新图形的面积，都可以“以面度面”。量出面积，再探究与相关量的关系，因此数方格是度量思想的体现。例7的作用是什么？笔者以为：是要让儿童经历合情推理的过程。要让学生重新经历人类对圆周率探索漫长过程中的关键性步子，就必须发掘例7在数学知识“再创造”过程中的重要作用：创设“区间精确”的路径，亲历以面度面的测量验证过程，也为猜测提供依据，合情推理也应是一种证据推理。

（2）关于例8

小学生以感性思维为主，动手实践是探究新知的主要方式之一，安排几个操作合适呢？“转化为长方形、三角形、梯形”这个问题对学生来说有难度， 但它的价值在于能让学生养成多角度思考的习惯， 能有意识地寻求不同的方法解决问题， 能综合已学知识来思考新问题。鉴于一节课时间有限，教师可以将“转化为长方形”作为本课的基础研究，而“转化为三角形、梯形”作为课后拓展研究。例8的作用是什么呢？除了动手操作，转化前后的对接里还有思辨，有空间想象、几何推理、视觉空间推理。例7合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论。而例8则是“把实际操作与几何推理结合起来，发挥实际操作在几何思维中的重要作用”。

（3）关于例9

例9不仅仅是一个简单的公式代入练习，必须要考虑到：学生是首次计算关于一个数的平方与另一个数的积，会出现计算顺序的差异。因此，计算时先算r2也是需要教师引导学生对比发现的地方。此外，学生尝试用π×102+100π这样的代数式表示运算的结果，也为后续代数的运算奠定基础。

所以这3个例题都很重要，对学生思维的发展有深刻的影响。

2. 学生的起点

（1）学生有过多次用数方格来研究面积的经验：研究长方形、正方形、平行四边形及不规则图形的面积。

（2）学生有用转化法来探究面积的经验：研究平行四边形面积时，转化成长方形；研究三角形面积、梯形面积等时都用到了转化的方法。

（3）学生有较多数学研究的经验：很多研究都是先大胆猜测，再实验求证，最后推理验证。例如圆的周长的探究，也是先猜测和什么有关，估计是什么样的关系，实验验证关系。

3. 教学的着力点

（1）经历知识的产生过程，体会极限、转化的数学思想，增强空间观念，发展数学思考。

（2）经历数学研究的过程，经历猜想、操作、验证、讨论和归纳等数学活动的过程。

（3）经历数学历史发展过程，感受面积测量发展的历史，感受数学知识内在联系的逻辑之美。

三、重构：聆听儿童数学思考真实的声音

（一）类比推理：把握认知起点，凸显迁移价值

师：今天老师带来了我们学校状元娃的一些剪纸作品。剪这张剪纸图案，至少需要多大的圆形纸片？（PPT出示图1①）

师：求圆形纸片的大小，就是要求什么？（板书课题）

师：这个圆形纸片的面积指的是什么？

师：猜一猜，圆的面积与它的什么有关？（半径、直径、周长、π）

师：是这样吗？（PPT演示长短两条半径各旋转一周画出圆的过程）

师：圆面积的大小与半径是什么关系呢？我们可以借助一个和半径有关的图形——正方形来研究。（PPT出示例7，隐去方格，如图1②）

师：正方形和圆有什么关系？

生1：正方形的边长就是圆的半径。

生2：圆面积大约是正方形面积的4倍……比4倍少一些。

（师板书≤4r2）

生4：四个三角形合起来就是两个正方形，圆面积比两个正方形大一些。也就是说, 圆面积比2r2多一些（如图1③）。

生5：圆的面积比4r2少一些，比2r2多一些。

（二）合情推理：立足举例验证，亲历以面度面

师：那圆的面积到底是r2的几倍呢？让我们来数一数。

生1：圆的面积是52cm2，正方形面积是16cm2，所以圆的面积大约是正方形面积的3倍多一些。

师：所有这样的圆和正方形都有这种关系吗？

生：不确定，还需要进一步举例验证。

（小组合作：数一数、算一算、填一填）

师：仔细观察（指向表格），你有什么发现？

生2：圆的面积都是正方形面积的3倍多一些，也是半径平方的3倍多一些。

（三）演绎推理：拓展认知边界，感受极限思想

师：要想更准确地知道圆的面积，你有什么好办法？

生：以前把平行四边形面积剪拼为长方形面积；把三角形、梯形面积转化为平行四边形的面积。圆的面积是不是也可以转化成一个学过的图形呢？

师：怎么转化呢？转化成学过的什么图形呢？（出示图2①）

师：借助材料袋里的材料，我们先把圆剪拼成一个平行四边形看看有什么发现。

（展示交流：黑板有序展示学生成果）

师：仔细观察，发现了什么？

生：拼成的图形越来越接近平行四边形。

师：继续分下去呢？

生：平行四边形斜边会竖起来！

师：那就是？

生：长方形。

师：是的，就是这样，我们把圆转化成了长方形。

（师板书：转化）

师：观察转化前后的图形，思考：拼成的长方形和原来的圆有什么关系？

生（小结）：圆的面积可以用公式S+πr2来计算。

（四）回顾反思：立足研究过程，勾连数学文化

师：看来圆的面积和圆的半径确实有着密不可分的联系。回顾今天的研究过程，我们是怎样做的？

生：先猜测和什么有关，然后估计是怎样的关系。通过不断地观察比较，逐步缩小范围，再数方格进一步缩小范围，最后通过转化推导出完善的面积公式。

师（小结）：是的，其实我们做任何研究都需要这样大胆猜想，实验求证，推理验证。让我们来看看前人是如何研究圆的面积的吧。

播放微课视频：（逐步出现图2②）数学始于需要，早在几千年前，我们的祖先由于田地、湖泊的测量需要，开始了对面积的探究。他们先是用手掌、脚印及同样大小的小正方形比较面积的大小，后来，人们应用出入相补的原理，将圆的面积转化为它内接十二边形的面积，因此有了“周三径一”的说法。随着数学的发展，我国数学家刘徽指出有限次的分割、拼补是有局限的，进而想到无限分割，把圆的面积转化为求无数个小三角形的面积。

师：前人怎样用手掌、脚印比较面积啊？“周三径一”是什么意思？刘徽为什么要无限分割呢？回顾我们今天的研究，是不是和前人有惊人的相似之处？

生：是的，我们也是有研究圆形纸片面积的需要，先估一估，然后想到用数方格来测量，不过这种方法有很大的误差，最后想到通过无限分割把圆面积转化成为长方形的面积,问题才得以解决。

师：现在要解决之前的这个问题，你需要什么条件？

师：刚才我们是把圆转化成长方形来研究的，其实也可以把圆转化成三角形、梯形。那三角形、梯形和圆又有什么联系呢？让我们带着这个问题走进课后的研究。

四、追击：让儿童经历再创造

教学不能只关注知识，还应关注情境背后的能力、知识背后的文化和精神、技巧背后的思想和方法、逻辑背后的直观和猜想。因此在推理过程中还要关注儿童亲历怎样的历程。

（一）经历圆面积知识产生的过程

主要通过一条主线（如图3），这个过程是从区间到精确的过程。

（二）经历数学研究的过程

引导学生经历猜想、估计、操作、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，感受数学研究的过程：大胆猜想→实验求证→推理验证。类比科学研究的过程，有一个共同点：有探究的需要→猜测（大胆提出一些假设）→实验求证（用已掌握的测量方法测量几个圆片的面积）→推理验证（化曲为直和假设对接）→解决问题。

（三）经历数学历史发展过程

回顾面积发展历史，人类对面积的研究是始于度量的需要，在没有面积测量方法以前，只能借助一些现有的面积比较面积的大小。从“周三径一”到准确地测量出圆的面积，前人想到了利用无限分割转化成无数多个三角形的和。这节课的研究也是如此，始于解决问题的需要，借助有关图形估一估，为了更精确，想到用小方格度量；为了消除误差，进而想到剪拼转化成长方形。