通过变式设计解决一次函数与几何图形的综合应用问题

黄玉芳

摘 要：在数学教学过程中，不能脱离内容谈数学思想方法，不能过于散乱，要以内容教学为主，渗透思想。在初中阶段，数形结合思想是一个很重要的思想，学生要充分经历应用数形结合思想方法，特别是借助几何直观解决问题的过程，并在这个过程中学会应用函数图象解决函数表达式不等式以及相关的周长和面积等问题。

关键词：变式;几何直观;数形结合

用变式问题来教学或实践是中国课堂教学的一个“本土”特征。教师要注重以变式教学作为支撑、以双基为导向的数学教学模式。教学的过程中，存在著各种各样的问题，对于一道题目，教师可以设置一系列的问题，激发学生的思考，从不同角度、不同方面和不同方式进行变式，注重知识的前后联系，充分调动学生的学习潜力，培养学生的化归意识。下面是笔者对一节复习课的尝试，复习内容为“一次函数与几何图形的综合应用”，在可能的条件下，对于“数”的问题，让学生借助于“形”去研究，并且不断地设置新问题进行变式教学，挖掘这一知识点的本质特征。

分析：如果学生能将不等式左边看成一次函数，直接根据图象求得x的取值范围，实际上学生已经应用了数形结合的思想，说明学生已经能够透过现象看到本质来解决问题，一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点A，则不等式kx+b>0的解集对应的是图象在x轴上方部分的自变量的取值范围，而不等式kx+b<0的解集对应的是图象在x轴下方部分的自变量的取值范围。

分析：此题可以用常规的方法，根据已知条件，分别求出两个一次函数的解析式，列出一元一次不等式，然后解出x的取值范围，也可以结合图象，利用数形结合的数学思想直接求出x的取值范围，两种方法都可以解决该问题，可以让学生进一步体会“数”“形”的本质。

分析：此题与变式2类似，一种方法可以根据图象求出不等式组x的解集，另一种方法可以根据已知条件，分别求出两个一次函数的解析式，列出不等式组，然后解出不等式组的解集，该变式同样是两种方法都可以解决该问题，再一次让学生分别体会“数”“形”的本质。

变式4：求变式2中的△PAC的面积。

分析：求△PAC的面积，实际上就是找出三角形PAC的底和高，此时以AC为底，高为点P到x轴的距离。根据点A与点C的坐标就可以求出AC的长。

变式5：变式2中，在PA上是否存在一点J，使得△JAC的面积为10。

分析：求△PBC的面积，常规做法就是找出三角形PBC的底和高，观察图形发现变式5与变式4不同，变式5无法直接求出△PBC的面积。此时可用割补法转化问题来求出△PBC的面积。

同样的，用补的方法也可以过点P作PE垂直于y轴，垂足为E，此时用S梯形OCPE-S△OBC-S△PBE也可以求得△PBC的面积。

解法二：过点C做x轴的垂线交AP于点F，此时可求得点F（2，5），这时CF将△PBC分割成△BCF和△CPF。

同样的，用割的方法也可以过点B作y轴的垂线BG交PC于点G，此时BG将△PBC分割成△BGP和△BGC。用类似的方法就可以求出△PBC的面积了。

此题不能直接求出三角形的面积，需要运用割补法将不规则的图形转化为我们熟悉的图形进行求解。化未知为已知，结合学生以前所学过的知识进行求解。

变式7：在y轴上是否存在一点H，使得PH+CH最小？若存在，请求出点H的坐标;若不存在，请说明理由。

分析：变式7其实就是典型的将军饮马求最值的问题，其实质就是“轴对称”和“两点之间线段最短”知识点的应用。

解法2，也可作点P关于y轴的对称点，类似的方法求出点H。

变式8：在y轴上是否存在一点I，使得△PIC周长最小？若存在，请求出点I的坐标;若不存在，请说明理由。

分析：变式8与变式7实质是一样的，只是问法不同，都是典型的将军饮马问题，就是“轴对称”和“两点之间线段最短”知识点的应用。因为PC长是定值，要求△PIC周长最小，实质上就是求PI+CI的值最小。

解法如变式6。

本节课从一个基本图形开始，不断地进行变式，围绕着学生所学过的基本知识点进行综合应用，难度层层加深，让学生从多角度对一次函数与几何综合的知识点进行深刻的理解。以“问题”作为驱动，“数形结合”引领问题解决。培养了学生由浅入深、层层递进的思维过程和几何直观能力。

编辑 王亚青