2019天津中考数学18题解法
2020-12-23房瑞密恩慧
房瑞 密恩慧
正方形网格作图已经在天津市中考数学中兴起已经好几年了,19年前都没有和圆结合,但在2019年中考中如期而至。
笔者拿到题一时之间无法找到思路,只能借助于标答了解出题人的考察的内涵,并得益于和平教研室对18题的教研,聆听了老师们的分析,但是对于第三点还是没有得到论证的方法,引发笔者探索欲望,有了以下结论。
【题目呈现】
18.如图,在每个小正方形得边长为1得网格中,△ABC的顶点A在格点上,B是小正方形边的中点,∠ABC=50°,∠BAC=30°,经过点A、B的圆的圆心在边AC上.
(1)线段AB的长等于 ;
(2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,
画出一个点P,使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB,
并简要说说明点P的位置是如何找到的
(不要求证明)
【思路呈现】
方法一:试卷标答
如图,取圆与网络线的交点E、F,连接EF与AC
相交,得圓心O;AB与网络线相交与点D,连接
QC并延长,与点B,O的连线BO相交于P,连接AP,
则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.
此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x,
在△OCP中,∠COP=60°,∠PCO=100°-x,∠CPO=2x
∴60°+100°-x+2x=180°,x=20°,
即∠PAC=∠PBC=∠PCB=20°.
其实根据对称性,可直接求出这三个角的度数,如图所示:
由题可以知道△AOB和△DOB关于直线OB对称,
得到∠OAB=∠OBA=∠OBD=∠ODB=30°∠AOE=∠BOE=∠DOF=∠ BOF=60°
∴∠CBD=∠CDB=10°
∴∠ODC=20°根据对称性得到∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°
又可以得到此网格题其实是有这个模型联想到右图:
△ADB是等边三角形,O为其中心,OA,OD所在直线是此三角形的对称轴,
由对称性得到所要的
∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°
方法二:
记方法一中的点为P1
利用几何画板可以找到另外两个异与点P的点,也满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.
且都在△ABC外部,其中一个在圆上,另一个在园内,分别记为P2P3.
P2作图步骤:
在作出P1的基础上连接A P1于AB中垂线交于点D,
连接CD并延长交圆于P2.
此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x,
在△APC中,
∠APC=180°-x-(100°-x)=80°,∠APC+∠BPC=120°,
∴∠BPC=40°
∴x=70°,即∠PAC=∠PBC=∠PCB=70°(其实可以直接得到∠PCB=70°)
方法三:
P3作图步骤:
再求P3时可以先求出∠PAC=∠PBC=∠PCB的值,此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x,发现ABCP四点共圆,∠CAP=∠PAB=x=15°,即作∠BAC的平分线,相当于
作∠BAC缩对弧或弦的中点,即过O作AB的平行线。
先延长AB至格点N,延长AC至M, 链接MN,
构造直角三角形,与MN交于点Q,Q为MN中点,
链接OQ与圆交于点E,链接 AE与P1P2延长线交于P3,P3即为所求。
说明:因为根据几何画板得到∠PAC=∠PBC=∠PCB=15°,此时P1P2所在直线为BC的垂直平分线,即求∠CAB平分线与P1P2交点,作∠CAB平分线就是点A与∠COB平分线与弧BM的交点E的连线AE,关键E怎么找?构造等腰△MAN,再找到MN中点Q即可,Q点怎么找?因为BM⊥AN,所以过BN中点H作BN垂线HT与MN交点Q即为所求。也就是△HKT≌△NRH,HT与MN交于点Q,则HQ为△MBN中位线,Q为MN中点。连接OQ与弧BM交点就是E。连接AE与P1P2交点为P3.
19年中考数学18题,全天津市没有一个同学得满分,经过思考有了以上3种作图方法,其中第三问是本人思考的结果,如有更好更多的解题方法,欢迎探讨研究。
(作者单位:天津港保税区空港学校)