HPM视角下数系扩充的教学研究

魏丹 蓝田

摘 要：为了让学生了解虚数是怎么产生的、为何一定要引入i2=-1让无解方程有解，笔者将数学史融入数学教学，让学生切实感受数系扩充的必要性及数学家在研究虚数过程中的曲折与创新。

关键词：虚数;数系扩充;数学史

高考中复数的考察方式仅局限于填空或选择，教师在教学中往往偏重于复数的四则运算等内容，对虚数单位的引入常用书本给出的方程x2+1=0的求解问题，但许多学生学完复数后并没有真正认识复数，认为既然“负数没有平方根”是众所周知的，为何一定要引入i2=-1让无解方程有解呢？学生觉得很矛盾，对复数的产生与其意义感到茫然。而虛数概念的产生与被广泛接受历经了数学家们几百年的探寻与思考，有必要让学生了解数学家们探索的大致过程。

一、虚数产生的历史背景

虚数的起源最早可追溯到公元3世纪，古希腊数学家丢番图在《算术》中遇到“不可约”的一元二次方程336x2+24=172x。12世纪时，印度数学家婆什迦罗在研究方程时注意到负数开平方问题，他断言“负数没有平方根”。13世纪意大利数学家斐波那契及15世纪意大利数学家帕西沃里在讨论一元二次方程的根时，也遇到了△<0的情形，但他们认为负数开方是“逆天而行”的事[1]。

虚数的真正历史始于1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出：将10分成两部分，使其积为40，他求出答案为

和  ，卡丹是第一个使用负数平方根的人，但他不理解也不接受这样的数。

1572年，意大利数学家邦贝利对虚数做了进一步的深入讨论，他在《代数学》中讨论三次方程x3=15x+4的解，发现它有三个实数根：    ，但他在利用三次方程求根公式时却出现同样的“不可约”情形，他得到          ，他做了个大胆的假设：                  ，并求出    。就这样，邦贝利用自己造的数解决了矛盾，使“无意义”的数变得有意义，这标志着复数的产生，他称 为“负之正”，  为“负之负”，并规定了复数的运算法则，为复数理论的发展奠定了基础。

18世纪，法国数学家笛卡尔仍不承认负数开平方这类数的存在，他在解n次方程有n个根时，将那些数称为“虚数”。后来高斯把虚数  和   区分开，便引入了复数一词。1777年，欧拉第一个用符号i表示虚数，并定义   ，系统地建立了复数的理论。此后，复数表示成a+bi，而后，柯西将

作为复数的模。

渐渐地，许多数学家在数学的推理过程中使用了虚数，结果都被证明是正确的，数学家对虚数的存在有了信心。1799年，高斯关于“代数基本定理”的证明中需依赖对复数的承认。而后高斯用实数对（a，b）代表复数，并建立了复数的某些运算，并将表示平面上同一点的直角坐标系法和极坐标法加以综合，分别用复数的代数式和三角式来表示，高斯不仅把复数看作平面上的点，并还将其看做一种向量，用复数和向量间的一一对应关系阐述了复数的加法与乘法，至此，复数理论比较完整和系统地建立起来了。

二、借助数学史，引入虚数单位

在教学中，教师应结合书本教材和学生的认知程度，借助数学史知识引入虚数单位i，可在教学中利用信息技术如多媒体课件向学生简述虚数产生的历史背景，可简单地向学生介绍一元三次方程的的求解问题，让学生明白数学家并非是为了解一元二次方程才去研究虚数，而是在解三次方程、二元二次方程组甚至是解n次方程时都绕不开“负数开平方”这一问题，才不得不去研究虚数的。

在学生了解了虚数产生的历史背景后，教师可引导学生回顾数系的每一次扩充，从自然数集到整数集引入了负数，解决了“不够减”的数学内部矛盾，从整数集到有理数集引入了分数，解决了“不能整除”的数学内部矛盾，从有理数集到实数集引入了无理数，解决了“不能开方”的数学内部矛盾。由此，可引导学生概括出数系扩充的一般规律：（1）引入新数;（2）在新数集中，原有运算及性质仍适用，并解决了某些运算在原数集中不总可以实施的矛盾[2]。教师可适时引导学生回顾之前学习的数学史实，让学生思考，从实数到复数引入了什么新数，而这个新数解决了什么数学内部矛盾？基于数学史的学习，大部分学生能回答出“引入了新数   ，解决了负数不能开平方的数学矛盾”。教师应给予学生肯定及表扬，并说明数学家规定

，即i2=-1，i是一种新引进的数，叫虚数单位，i和实数之间仍能像实数系那样进行四则运算。学生了解虚数的由来，虚数的神秘面纱便被揭开了，接下来复数的相关概念便水到渠成了。

三、小结

数学史是人类数学思想的发展史，其蕴含了许多丰富的数学思想方法[3]，学习数学史知识能对学生的思维有着积极的启发意义，教师应认真学习相关数学史知识，根据学生的认知程度思考如何将其融入数学教学，引导学生从HPM的视角看待数学知识，让学生从历史的角度了解数学知识的产生，探索数学知识的发展，从而发挥数学史在数学教学中的深刻教育价值。特别地，虚数的产生与发展历程曲折而艰辛，数学家们对虚数的接受过程也是缓慢而曲折的。教师在教学过程中应勉励学生，在学习过程中遇到困难，经历困惑实乃常事，需静下心来慢慢研究攻克难题。

参考文献：

[1]胡典顺、孔凡祥.高考中的数学文化[M].第一版.湖北科学技术出版社：2017：192—196.

[2]陆明明.《数系的扩充》的教学设计与教学体会.中小学数学[J]，2011，10：20-23.

[3]方国青、王芳.HPM视角下“数系的扩充与复数的引入”课例研究.[J]，2013，04：29-32.

作者简介：

魏丹，1990.10，女，汉族，福建三明，福建省三明市第九中学，中学二级教师。