基于协方差分解法的边坡可靠度仿真探析

[摘要]边坡在地球上是一种很常见的现象，这种现象存在一定的不稳定性，它的不稳定性会对工程建设带来不小的灾害。边坡可靠度分析在路桥工程、工民建工程、市政工程等工程中常常遇到的一个很重要的问题。影响边坡稳定性的因素就是具有随机性的问题，用协方差分解法来对随机场进行分析，可以弄清楚研究对象的各个影响因素之间相互作用对研究对象的影响。

[关键词]边坡稳定性;蒙特卡洛方法;协方差分解法

[中图分类号]TU43

[文献标识码]B

1绪论

1.1问题的提出

随着现代技术的发展，建筑工程技术越来越成熟，人类对于土地的使用要也越来越高。在路桥工程，工民建工程，水利水电等工程中，边坡所带来的灾害也屡见不鲜。因此边坡稳定性的分析也越来越重要，但是传统的分析方法并不适用，所以我们需要探索更精确、更科学的方法进行数学和模型仿真分析。

1.2边坡稳定性分析的方法

最初最常用的方法就是安全系数法，这种方法是将许多不确定的因素概括成为一个确定的安全系数，用这种安全系数作为标准来表示出边坡的稳定性。经过长期的研究又出现了Fellenius法、Bishop法、Morgenstem-Price法等更高级的方法。但是这些方法却不能把握住土的随机性，只是单纯的把土看作—个统一的整体来进行研究，把土的材质均匀处理化。但是通过实际的研究发现，土的不稳定因素呈现出随机性，这使得蒙特卡洛方法在边坡稳定性研究中取得了重要的作用。蒙特卡洛方法是针对随机性问题的方法，它可以描述和模拟整个概率过程，通过研究概率数学模型，可以更好的研究边坡的不稳定性因素。

1.3研究的意义

土质的参数存在很大的随机性、多变性、复杂性。安全系数研究法不能准确的描述出边坡的可靠程度，所以需要研究能对随机数据能进行更好分析的方法。

中国是一个边坡灾害发生大国，每年都会有大大小小的各种滑坡事件发生。这些灾害对人们的生命和财产都带来了巨大的损害，对国家的经济损害也是巨大的。随着国力的发展，中国也开始建设更多大型工程，例如：三峡工程、南水北调工程等水利水电工程，还有山体铁路隧道公路等工程，这些工程使得我们对边坡可靠度的研究必须做到更准确更透彻。

2正态分布随机场与MATLAB

2.1蒙特卡羅方法

蒙特卡洛方法是针对具有随机性的问题的一种方法，这个方法可以描述和模拟整个概率过程。在这个建模中我们所构建的边坡各项指标是随机分布的，所以在这里要用到蒙特卡罗方法。首先我们需要建立一个概率模型，这个模型可以看作是由不同的概率分布构成的。实现蒙特卡罗方法必须要有已知概率的随机变量。而这个随机变量我们就可以借助MATLAB来实现。在我们这次仿真中，蒙特卡罗方法的具体应用是先生成随机变量的样本，再利用可靠度分析中提到的功能函数来统计失效样本的数量并估计出失效概率。因为输入的参数是由MATLAB生成的随机数，所以得到的失效概率也是一个随机变量所以必须通过反复的运算才能得到安全系数的样本。计算失效概率的公式如下：p？=l/n，L是通过功能函数所得到的不符合极限要求样本的次数，n是运算的总次数。

2.2 MATLAB的应用

首先输入代码：

clc;clear all;

pf=0.

f=randu（100）

for i=1：10000

if f（i>=0.

pf=pf+1

end

t=pf/10000：

这条命令将随机生成10000个随机数。

子函数代码：

Function main

F=randndn（100）

Sdfety=0

For i=l：10000

Safety=panbie（f，I， safRety）

End

Pf= failure /10000

function failUrte=panbie（f，I. safety）.

if i >0.

safety=safety+1.

end

这条命令是将边坡可靠度的判别分为了两个函数，第二个为子函数。

2.3 MATLAB数据的输入与输出

在MATLAB的使用过程中我们要将10000个随机数从MATLAB中导出成为一个dat文件。.也需要将电脑中的dat文件再导入到MATLAB中。所以我们需要用到输入和输出语句。下面分别是输入和输出的例子。

输入：

clear

clc

fid_c =fopen（cohesion.dat，w）;

fid._phi=fopen（phi. dat，w）;

mu=[13.8，37];cv=[.2，.2]：

% mu=[1.40];cv=[.1，.1];

sigma=mu.*cv

j=10000.

c=normrnd（mu（1），sigma（1），i，1）：

phi=normrnd（mu（2），sigma（2），i，1）

fprintf（fid_c，%f＼n，c）：

fprintf（fid_phi，%f＼n，phi）：

fclose（fid_c）

fclose（fid_phi）;

这样子就生成了cohesion和phi两个文本文档。成功的将MATLAB生成的数据变成两个文本文档。生成这两个文本文档是为了便于后面的应用。

输出：

clear all：

clc

% fid_c=fopen（cohesion.dat，r）：

% fid_phi=fopen（phi. dat，r）：

c1=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼cohesion1.dat）：

c2=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼cohesion2.dat）：

phi2=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼phi2.dat）：

fos=csvread（D：＼MATLAB7＼bp680＼pos680.dat）：

% fclose（fid_c）：

% fclose（fid_phi）

這条命令可以直接将上面刚刚保存的两个文档直接替换到MATLAB中来Fid是指定要写入的数据文件cohesion和phi是文件名r是用只读方式打开。

3随机场理论与FLAC建模及应用

3.1随机场理论

我们的研究中只考虑到土的cohesion和phi性质，所以在这里用随机场来模拟土的性质是符合现实情况的。

协方差函数是随机场的数字特征，本次主要研究的就是协方差法在边坡可靠度仿真中的作用。

土性指标一般是由试样的测值来反映的。土的空间平均性质有两层意义：一是土性参数是个随机变量，而且是一个空间内的随机变量，随位置的变化而变化;二是土的极限状态取决于土性在空间中的分布情况。

我们可以将士的性质视为依赖于土体并且随不同位置而变化的随机变量，是在空间上分布的随机场。所以我们要弄清楚随机场的性质，这样我们就可以把边坡的可靠度问题转化为一个随机变量的问题。

在本文中我们将用半变异函数理论。半变异函数理论被广泛的用于矿体的品位及储量的估计。具体理论如下：

将单位空间∞中的土的性质参数看作具有一定关联的变量。将土体中某一点t的参数随机变量设为X（t），那么x（t）与x（t+τ）的相关特陛可以表示为下式：

r（τ）=1/2var[X（t）-X（t+τ）]=1/2E{X（t）-X（t+τ）]2}

其估计量为：r*（τ）=1/2N（τ）ΣN（τ） i=1 [X（ti）-X（ti+τ）]2

N（τ）为以向量τ相隔的试验数据对x（t）与x（t+τ）的数目。

变异函数有很多种模型，我们所用到的有指数模型和高斯模型，其表达式为：

指数模型：r（h）=1-exp（-ah）

高斯模型：r（h）=1-exp（-a2h2）

式子中，Co为块金值;C为基台值;a为相关距离。

在后面的MATLABCUIDE设计中我们将要用到这个随机场理论，并且用这个理论进行模拟和建模。

3.2协方差函数

设随机场[y（z）]的二维联合函数为Fz1z2（x1x2），则对任意z1，z2∈Z，随机场[y（z）]的协方差函数定义为：

CYY（z1z2）=E{[y（z1）-E{y（z1）}][y（z1）-E{y（z2）}]}

=[x1-Ey（z1）}][x2-E{y（z1}]dFz1z2（x1，x2）

协方差函数CYY（z1，z1）实质上是y（z1）和y（z2）的二阶混合中心距。它是参数z1、z2的二元函数。小标的作用是表示其是随机场[y（z）]的协方差函数。记为CY（z1，z2）。

在研究中使用的协方差分解法：先直接生成一个随机场。如果随机场z（t）被划分为n个网格点，那么协方差矩阵Cn×n就由Ci，j=C（ti，tj）元素组成（i=1，2，…，n

j=1，2，…，n）。因此，平稳高斯随机场可以表示为下式：

Cn×n=Ln×nLn×n T Gn×1=Ln×nWn×1

LLT是协方差矩阵C中的乔里斯基分解矩阵，W是一个独立的向量，是分布在N（0，1）里的随机数，Gn×1是构成离散化高斯平稳随机场的随机变量gi，i=1，2，…，n的向量。

3.3 FLAC建模

首先我们用FLAC建立一个边坡的模型例如图1所示。

我们需要建立一个与之类似的模型，并且将cohesion和phi这两个变量随机分布到这个边坡中，使整个边坡的结构变得随机化，从而便于计算边坡的可靠度。

3.4边坡可靠度算例

我们这里采用如下的边坡算例来说明前面方法的有效性。在算例中边坡的几何尺寸如图2所示，边坡的有限元模型剖分为910个单元，如图3所示。边坡的容重为20kN/m3，泊松比为0.3。弹模为1.0?105kN/m2。土的摩擦角和膨胀角均取0。假定粘聚力cn为平稳随机场，其统计特征为均值5kN/m2，变异系数为0.5，相关长度为1m的指数型相关函数。图4给出了粘聚力随机场的第一次历经。图5给出了第一次历经所对应的边坡失效形式。此时边坡安全系数为0.83。弹塑性变形产生了贯通的剪切面。

4结论

由于边坡次生灾害频发，边坡可靠度也成了一个在国际上关注度很高的重大问题，对于边坡防治的工程朝着更加准确更加实用更加便捷的方向在发展，特别是伴随计算机的越加普及，让边坡稳定性分析的方法发生了质的变化，并且走向了一个新的方向。我们所研究的就是利用MATLAB和FLAC编程来进行边坡可靠度模型仿真，利用计算机的强大处理能力进行高达上万次的模拟和计算，得出一个准确的可靠度数据。

这个方法的基本理论支持是蒙特卡洛方法，通过对随机场的模拟和演算，我们可以模拟出最符合实际情况的土性质参数。

这个方法比传统的安全系数法更加准确，操作起来更加方便，演算过程由计算机控制，大大减少了计算的工程量。数据具有随机性，大大的提高了准确度。

这个方法的优点很明显：一是数据更具有随机性，更加符合实际;二是计算过程简单;三是由FLAC生成的仿真模型更加直观。四是操作方便，工程量小。

目前此方法还没有得到普及，但是随着计算机应用的越发成熟，以及我们对边坡研究的越发深刻，基于协方差分解法的边坡可靠度仿真将得到越来越广泛的应用。

[参考文献]

[1]刘波，韩彦辉.FLAC原理实例与应用指南[M].北京：人民交通出版社，2005.

[2]陈育民，徐鼎平.FLAC/FLAC3D基础与工程实例[M].北京：中国水利水电出版社，2009.

[3]高谦，王思敬.龙滩水电站船闸高边坡的可靠度分析[J].，石力学与工程学报，1991，10（1）：83-95.

[4]邱贤德，高先良，袁德顺，等.矿山边坡可靠度分析的研究[J].化工矿山技术，1998，27（1）：2-10.

[5]李俊，彭振斌，周斌，利用有理多项式技术计算基于Bishop分析模式的边坡稳定可靠度[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2009，32（4）：519-522.

[6]赵尚毅，郑颖人，邓卫东.用有限元强度折减法进行节理岩质边坡稳定性分析[J].岩石力学与工程学报，2003，22（2）：254-260.

[收稿日期]2020-08-31

[作者简介]王冠（1993-），男，湖北武汉人，助理工程师，研究方向：建筑工程预决算。