可解群的Hall π子群的Hall分解

余中兴,周 芳

(太原师范学院数学系,山西 晋中 030619)

0 引言

设π是一个素数集合,有限群G的一个子群H是π群,并且H在G中的指数的所有素因子均不包含在π中,那么称H是G的Hallπ子群.P.Hall 在文献[1]系统的提出了π系理论,并且指出了当π只有一个素数时即是Sylow p理论.本文是下述结论的一个推广.

引理设G=HK，P∈Sylowp(G).则存在P1∈Sylowp(H)，P2∈Sylowp(K)，使得P=P1P2.

2 主要结果

定理设G=HK是有限阶的可解群,其中H和K是G的子群,π是某个素数的集合，则存在T⊆Hallπ(G)使得T∩H⊆Hallπ(H)和T∩K⊆Hallπ(K)，并且T=(T∩H)(T∩K).

证明 根据题设,G=HK是有限阶的可解群.由[2]的定理3.13知对于任意的素数集合π，G都有Hallπ子群.

首先,需证明如果U是G的一个π子群,则存在S∈Hallπ(G)使得U⊆S.

下面证明存在T∈Hallπ(G)使得T∩H∈Hallπ(H)和T∩K∈Hallπ(K).

不妨设A∈Hallπ(H)，那么根据上面的证明知道存在R∈Hallπ(G)使得A⊆R，则有A=R∩H.同理可知存在W∈Hallπ(G)使得W∩K∈Hallπ(K).根据[2]的定理3.14知G的所有Hallπ子群都是共轭的,那么存在g∈G使得W=Rg.由于G=HK，所以对于任意的g∈G，存在h∈H和k∈K使得g=hk.那么则有W∩K=Rg∩K=Rhk∩K=(Rh∩K)k∈Hallπ(K).同理有，则Rh∩H=(R∩H)h∈Hallπ(H).令Rh=T∈Hallπ(G)即为所需要的Hallπ子群,结论成立.

最后需证明T=(T∩H)(T∩K).