建构数学模型 促进学生发展

黄天配

乘法分配律是小学数学中非常重要的运算律，有的学生在课堂上懂得观察、比较、发现规律，但在实际应用中却常出错。本文以北师大版四上“乘法分配律”为例，谈谈如何在教学中引入几何模型支撑，渗透模型思想，使抽象的数学知识变得“可见”，促进学生的数学理解。

一、借助几何直观，丰富数学模型的表象建构

小学生的思维以直观形象思维为主，在教学中借助图像或几何图形，通过引导学生对直观的“形”的观察、思考、分析、比较，可让他们在感知数学模型的同时，为后续模型的建立积累丰富的素材。

例如，许多教师从乘法分配律的外形特征出发，借助情境的创设，展示多个有其特征的等式，再引导学生观察这些等式，发现其相似之处，再利用不完全归纳方法抽象出乘法分配律。这样的教学重外形记忆，轻本质理解，学生往往只知其然，而不知其所以然。笔者在教学“乘法分配律”时，创造性使用教材，以三个递进的情境切入：

（1）现实原型：学校为学生购买运动服，上衣需45元，裤子35元，5套运动服需要多少元？

（2）几何模型：计算两个场地总面积。

（3）点子图形：计算排队的总人数。

在第一个情境中，笔者先让学生独立思考、交流得出：①（45+35）×5，45+35表示先求一套运动服的钱，再乘5表示5套运动服的钱。②45×5+35×5，先求5件上衣和5条裤子各多少钱，再相加，也能得出5套运动服的总价。

在第二个情境中，学生观察交流后，表达出各自不同的想法：12×6+8×6和（12+8）×6。笔者接着让他们结合示意图说一说两道算式有什么相同点和不同点。学生在交流中得出：12×6是左边长方形的面积，8×6是右边长方形的面积，再把两个长方形的面积相加，就是大长方形的面积。（12+8）×6是把大长方形看成一个整体，12+8表示大长方形的长，再乘宽就得到了大长方形的面积，也就是说方法不同，但结果相同。

在第三个情境中，笔者让学生观察队形图，并讨论交流能否用8×6+5×6和（8+5）×6这两个算式来解决。最后，再引导学生观察、对比三个算式：（45+35）×5=45×5+35×5，（12+8）×6=12×6+8×6，8×6+5×6=（8+5）×6。让学生结合情境说一说三个等式有什么相同点和不同点，引导学生发现等式的结构特征。

笔者以三个递进的教学情境为切入点，以“5套衣服多少钱（现实模型）—长方形面积（几何模型）—点子图形”等素材为载体，让学生对乘法分配律的学习有了“图”的支撑，学生容易将“分开算”和“合起来算”这两种思路建立起联系，再运用乘法的意义结合“点子图”进行解释。这样的学习，学生经历了从具体问题到类比推理，再到感知模型的过程，从“形”到“义”，实现了在思维层面上的逐步抽象，并积累相关的感性经验，丰富学生对于乘法分配律的模型特征的感知与建构。

二、依托探究过程，经历数学模型的抽象建构

抽象性是数学学科的一个重要特征，让学生学会以数学的方式进行思考，首要的就是让学生学会数学抽象，而从问题的现实情境过渡到抽象的数学模式是学生学会数学抽象的关键。教学中，只有引导学生对数学问题进行对比分析，让学生充分感知、体验知识的形成过程，才有利于学生把握数学问题的本质。

在学生初步感知乘法分配律的模型特征的基础上，笔者提出：“你能写出几组像这样的式子吗？”学生交流并举例：（5+4）×2=5×2+4×2、（40+60）×5=40×5+60×5……接着，笔者让学生不计算，用乘法的意义解释左右两个算式是相等的，让学生再次经历从“具体事物—个性化符号表示—数学化表示”这一逐步符号化的过程，经历模型的抽象建构。在此基础上，笔者提出：“这么多算式，你能只用一个算式表示出所有的等式吗？”引导学生交流并统一字母式：（a+b）×c=a×c+b×c，最后再引导学生回顾前面的“场地面积”，让学生说一说这里的a、b、c分别代表什么，除了能表示长方形的长与宽，还能表示什么？学生各抒己见：可表示任意一个自然数，也可表示任意一个数……笔者最后再适时小结：“像这样相等的式子其实我们以前也有接触过。”然后课件出示以下图片，让学生交流图中的内容，从中找出乘法分配律。

（2）长方形的周长：（长+宽）×2=长×2+宽×2。

在这一教学过程中，让学生通过举例来验证与说理，感受到用数字表示的局限性，从而产生新的需求，学生经历了从实际问题过渡到抽象概括的探索过程，这时用字母表示乘法分配律也就水到渠成了。紧接着适时出示旧知，引导学生进行回顾，沟通知识之间的内在联系，使之形成一个有机整体，更是把学生的认知再次推向深入，学生的数学认识从“具体经验”提升到“理性层面”，深化了学生对数学知识的本质理解。

三、深入辨析内化，充盈数学模型的本质建构

教学时，我们常常会忽视学生对乘法分配律“最本质”意义上的理解，只关注外在变化的“形”，而忽视对内在不变的“理”的探究。因此，在教学中需要借助问题情境，引导学生深入辨析，这样才能既及时检测学生对分配律的理解，又让学生在丰富的巩固拓展中充分感知模型思想，从而不断完善对乘法分配律本质特征的理解。

如在学生对乘法分配律有了一个初步的理解后，笔者接着课件出示：

（1）请填写完整算式：8×（125+9）=8×（ ）+8×（ ）;7×（+）=7×48+7×52。

（2）辨一辨：（7+3）×8〇7×8+4×8，这两个算式得数相等吗？调整两个算式中的哪个数等式就能成立？

（3）想一想：（103-3）×8〇103×8-3×8，乘法分配律在减法中可以适用吗？

在第一题中，学生作答并交流后，笔者接着提出：“你會用哪种方法进行计算？”学生交流得出：前一道题用8×125+8×9，后一道题用7×（48+52）计算比较简便。最后笔者再适时小结：有时合着算比较好算，有时分开算比较好算，看来，乘法分配律能够使计算简便。随后通过辨一辨、想一想的交流活动，学生对分配律的本质与非本质特征得到进一步的理解与强化。第三道题适时地类推“求和-求差”问题，既沟通了乘法与加减法之间的联系，又使减法中同样适用乘法分配律这一知识润物细无声地得到渗透，并使乘法分配的基本模型再次“生长”，进一步建构对其规律的本质理解。

（作者单位：福建省晋江市东石镇金山小学）