求解矩阵方程AX=B的多步迭代算法

2020-12-18周昱洁彭振赟尚邵阳

桂林电子科技大学学报 2020年3期

关键词：收敛性范数梯度

周昱洁，彭振赟，尚邵阳

(桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林 541004)

矩阵方程的求解是数值代数领域的重要课题之一，在工程技术、控制理论和图像处理等方面有极大的实用价值。矩阵方程

AX=B

(1)

是最简单也是研究最多的矩阵方程类型，求解方法主要包括直接解法和迭代解法2大类。Bjerhammar[1]利用矩阵的广义逆研究了该矩阵方程在一般矩阵集合中的求解问题，并给出了有解的充要条件和通解的表达式。Allwright[2]采用凸分析的方法对矩阵方程(1)在对称半正定矩阵集合中的反问题进行了研究，给出了最小二乘解存在的条件，但未给出解的具体表达式。谢冬秀[3]通过引入新的内积并应用闭凸锥逼近理论得出了该矩阵方程存在半正定最小二乘解的充要条件以及通解的表达式。文献[4-6]分别就中心对称矩阵、广义(反)对称和广义(反)自反矩阵、(反)对称正交矩阵集合对该矩阵方程进行了研究。彭亚新[7]首次利用共轭梯度算法的思想，构造了共轭残差算法求解矩阵方程(1)的一般解、(反)对称解及中心对称解等。郭孔华[8]通过构造正交投影迭代法，进一步研究了矩阵方程(1)的几种对称性解及其最佳逼近问题。在矩阵方程(1)有解的情况下，Ding等[9]参照Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法提出了一种更广义的基于梯度的迭代算法，因收敛因子μ的存在保证了算法的收敛性，但由于该基于梯度的迭代算法只使用当前迭代近似解来决定新的迭代近似解，在求解大规模矩阵方程时可能出现收敛速度缓慢的情况。

鉴于此，提出一种求解矩阵方程(1)及其最小二乘问题的多步迭代算法，即通过前m+1个迭代近似解的特定线性组合[10-14]来估计下一步迭代近似解，并证明了算法的收敛性。数值结果表明，本算法相对于基于梯度的迭代算法具有更好的收敛效果。

1 矩阵方程(1)的多步迭代算法及其收敛性

基于梯度的迭代算法[9]：给定初始近似解X0，按照迭代格式

Xk+1=Xk+μAT(B-AXk)

(2)

计算矩阵方程(1)的第k+1步迭代近似解，其中：

λmax(ATA)为对称矩阵ATA的最大特征值。

基于梯度的迭代算法是单步迭代算法，当矩阵A为列满秩矩阵时，由该算法得到的矩阵序列{Xk}收敛到矩阵方程(1)的唯一解：

X*=(ATA)-1ATB=A+B。

基于梯度的迭代算法也是不动点迭代法[14]，令

g(X)=(I-μATA)X+μATB，

则基于梯度的迭代算法的迭代格式(2)可改写为

Xk+1=g(Xk)。

算法1令

f(X)=g(X)-X，

则求解矩阵方程(1)在Rn×n内的多步迭代算法为：

2)若‖f(Xk)‖F≤ε，则程序运行终止，此时，Xk即为矩阵方程(1)在Rn×n内的解；

3)令mk=min{m,k}；

(3)

5)令

(4)

为了方便讨论算法1的收敛性，给出如下引理。

引理1[15]若x*为线性方程组Ax=b的解，且x*∈R(AT)，则x*是线性方程组Ax=b的最小Frobenius范数解。

引理2若X*为矩阵方程AX=B的解，且X*=ATH，H为任意矩阵，则X*为矩阵方程AX=B及其最小二乘问题的最小Frobenius范数解。

设m×n阶矩阵A的奇异值分解为

(5)

其中：U=(U1,U2),U1∈Rr×m为m阶正交矩阵；V=(V1,V2),V1∈Rr×n为n阶正交矩阵；Σ=diag(δ1,δ2,…,δr)>0，r=rank(A)，则X=ATH等价于X=VH。

引理3若X*为矩阵方程AX=B的解，且X*=VH，则X*为矩阵方程AX=B及其最小二乘问题的最小Frobenius范数解。

对于算法1，有如下收敛性定理。

证明由矩阵函数f(X)和g(X)的定义可知：

f(Xk+1)=μATB-μATAXk+1。

(6)

f(Xk+1)=μATB-μATAXk+1=μATB-μATA×

因此，

(7)

所以式(7)可转化为

‖f(Xk+1)‖F≤‖I-μATA‖2·‖f(Xk)‖F。

‖f(Xk+1)‖F≤c‖f(Xk)‖F≤…≤ck+1‖f(X0)‖F。

因此，当k→∞时，有‖f(Xk)‖F→0，f(Xk)→0，由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于与矩阵方程(1)等价的法方程ATAX=ATB在Rn×n内的解。若A为列满秩矩阵，则算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程(1)在Rn×n内的唯一解A+B；若A为非列满秩矩阵，且其奇异值分解为式(5)，则由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程ATAX=ATB在Rn×n内的一个解

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(8)

其中G为适当阶数的任意矩阵。矩阵方程AX=B的最小二乘解同样地可表示为式(8)，则由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程(1)在Rn×n内的一个最小二乘解。

定理2当选取初始矩阵X0=ATH，或直接令初始矩阵X0=0，则由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程(1)的唯一的最小Frobenius范数最小二乘解X*=A+B。进一步地，若X*为矩阵方程(1)的解或其最小二乘问题的解，则有

(9)

其中，

c=‖I-μATA‖2<1。

若X*为矩阵方程(1)的解，则有ATAX*=ATB，因此有

f(Xk)=μATB-μATAXk=-μATA(Xk-X*)=

-[I-(I-μATA)](Xk-X*)。

因

‖f(Xk+1)‖F≤c‖f(Xk)‖F≤…≤ck+1‖f(X0)‖F，

其中c=‖I-μATA‖2<1，则有

(1-c)‖Xk-X*‖F≤‖f(Xk)‖F≤

c‖f(Xk-1)‖F≤…≤ck‖f(X0)‖F≤

ck(1+c)‖X0-X*‖F。

因此，有

定理3若矩阵方程AX=B有解，则由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程(1)在Rn×n内的一个解，当选取初始矩阵为X0=ATH，或直接取X0=0时，由算法1产生的矩阵序列{Xk}收敛于矩阵方程(1)唯一的最小Frobenius范数最小二乘解为X*=A+B。若X*为矩阵方程(1)的解，则误差估计式(9)成立。

矩阵方程(1)有解时，其解的表达式与其最小二乘解的表达式相同，则与定理1和定理2一样可以证明关于算法1的收敛性定理3。