无穷小存在的证据与康托集合论的错误

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

为了论述方便，我们首先引述康托集合论的两个集合间一一对应的定义如下：

康托集合论的两个集合间一一对应的定义：如果存在函数y=f(x)为集合A→B的双射函数，则集合A和B为一一对应的关系。

康托集合论的基本观点是一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等。而这个观点正是康托集合论的一个定理，本文称它为康托集合论的基本定理，现在我们把这个定理及其证明引述如下：

康托集合论的基本定理：令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

证明：令y=f(x)=a+(b-a)x，显然，y=f(x)为[0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

为了论述得简单明了，我们取一种具体的情况，即令a=0，b=2，于是就得到集合[0，2]，并且[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，[0，1]是[0，2]的真子集，这是已知条件。为了论证需要，我们首先让[0，1]和[0，2]都在x轴上，现在假定[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，则相互对应的元素的性质就存在相同和不同两种情况。如果相互对应的元素的性质相同，根据集合论的外延公理：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，并且集合B的每一个元素都是集合A的元素，则A=B，所以[0，1]=[0，2]，但是，这是和客观事实矛盾的；如果[0，1]和[0，2]相互对应的元素不同，则[0，1]不是[0，2]的子集，因此[0，1]也就不是[0，2]的真子集，这不仅和已知条件相互矛盾，而且和客观事实相互矛盾，那是因为在[0，1]和[0，2]在同一个坐标轴上的时候，[0，1]一定是[0，2]的真子集，因此，在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，[0，1]和[0，2]不可能是一一对应的关系，只能是非一一对应的关系。也就是说，在这种情况下，康托集合论的基本定理的证明不能成立。因为这个定理是根据康托集合论的两个集合间一一对应的定义证明的，所以这个定义的正确性就值得怀疑。现在我们再让[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上，根据康托集合论的理论，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，这时[0，1]和[0，2]相互对应的元素的性质就存在相同和不同两种可能。如果[0，1]和[0，2]相互对应的元素的性质相同，则根据集合论的外延公理，有A=B，因此[0，1]=[0，2]，这显然和客观事实矛盾。因此只有一种可能，那就是[0，1]和[0，2]相互对应的元素具有不同的性质。而实数点的集合，它们的元素是没有性质的，因此这时的[0，1]和[0，2]就是两个非实数点的集合。因为函数y=2x的存在改变了它的判断对象[0，1]和[0，2]的性质，使它们从两个实数点的集合变为两个非实数点的集合，所以康托的两个集合间一一对应的定义就是错误的，根据它证明的康托集合论的基本定理也就不能成立，所以康托集合论也就是一个错误的理论。

前面已经指出，在[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的时候，一方面，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，另一方面，也正是由于函数y=2x的存在，[0，1]和[0，2]的元素，即点就具有了不同的性质。现在我们就来研究一下它们具有什么样的不同的性质。由于[0，1]和[0，2]是一一对应的关系，所以[0，1]和[0，2]的点的数目相等，但是[0，2]对应的线段的长度却是[0，1]对应的线段的长度的2 倍，原因是集合[0，1]和[0，2]上的元素，即点一定具有不同的长度，而点所具有的长度只能是小于任意正实数，但是又不等于0 的无穷小长度，并且这些无穷小长度又必须遵守算术公理，也就是说，集合[0，1]和[0，2]上的点的无穷小长度的算术和分别等于[0，1]和[0，2]对应的线段的长度。而[0，1]和[0，2]具有不同的性质，则可以理解为，[0，1]和[0，2]上的点具有不同的无穷小长度，具体地说，即[0，2]上的点所具有的无穷小长度是[01]上的点所具有的无穷小长度的2 倍。

这也就是说，由于函数y=2x的存在，x轴上和y轴上的点具有了无穷小的长度，并且y轴上的点所具有的无穷小长度是x轴上的点所具有的无穷小长度的2 倍，这些无穷小长度都遵守算术公理。根据以上的论证，我们可以假定，由于函数y=f(x)的存在，两个轴上的点就具有了无穷小的长度，这时两个轴上的点也就不是实数的点，而是超实数的点，同时超实数点所对应的数就是超实数。现在令X=x+dx表示x轴上的超实数点，其对应的数就是超实数。其中x为实数，表示该点到原点的距离，dx为无穷小，它表示该点所具有的无穷小长度，它小于任意正实数，但是不等于0，并且遵守算术公理。请注意，这里的dx和经典微积分的微分概念有本质的区别。同样的，Y=y+dy。如果有实函数y=f(x)，那么有超实函数Y=f(X)=f(x+dx)。因为Y=y+dy，所以dy=Y-y，因此dy=f(x+dx)-f(x)。这是一个重要的公式，我们称它为超实函数的基本公式。现在让我们来比较超实函数Y=f(x+dx)和实函数y=f(x)之间的差别时就会发现，实函数是超实函数丢掉了dx而得到的函数，因此和超实函数比较，实函数就是一个不完整的函数。再有，我们应该认识到，超实函数是客观存在的，并且是我们原来所不知道的一个函数，而实函数只是超实函数的一个伴随的不完整的函数。根据超实函数的基本公式dy=f(x+dx)-f(x)，如果有实函数y=2x，那么有dy=2dx。其中dy表示y轴上的点所具有的无穷小长度，dx表示x轴上的点所具有的无穷小长度。根据dy=2dx，则y轴上的点所具有的无穷小长度是x轴上的点所具有的无穷小长度的2 倍。如此可见，康托只知道，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，因此[0，1]和[0，2]是一一对应的关系，而康托却不知道，也正是由于函数y=2x的存在，使两个实数点的集合[0，1]和[0，2]变成两个非实数点的集合，这就说明了，作为判断两个实数点的集合是否为一一对应关系的定义，却改变了它的判断对象[0，1]和[0，2]的性质，使它们从两个实数点的集合变成两个非实数点的集合，因此，康托的两个集合间一一对应的定义就是一个错误的定义，康托集合论也就是一个错误的理论。

上面关于无穷小存在性的证明充分表明了，康托对于无穷小理论的否定是完全错误的。对于无穷小数，非标准分析的创始人，美国数学家鲁滨逊认为：在实数之后，下一个十分自然的步骤，即引入无穷小。而在无穷小的基础之上引入的超实函数，则给数学的发展提供了更为广阔的空间。