实数系的密度函数

王淑斌

摘 要 概率指事件隨机发生的几率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间（事件的取值范围）的概率除以该区间的长度，它的值是非负的，本文从高斯分布的角度论述了实数系的性质。

关键词 正态分布 实数连续性

中图分类号：G642文献标识码：A

正态分布也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到，高斯在研究测量误差时，从另一个角度导出了它。

定义1：如果随机变量X的概率密度为，，其中  >0，则称X服从参数为，的正态分布。记为。

定义2：设连续型随机变量x的密度函数为则分布函数为。

若x ～ N（0，1）其密度函数和分布函数常用和表示，

其中，。

对于标准正态分布的分布函数具有如下性质

（1），（2），（3），

（4）

实数连续性定理由，确界存在性定理，单调有界收敛定理，聚点定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，柯西准则七个定理组成，皆刻画了实数集R的连续性。

（一） 若集合A，，。

区间长度的最大值记：;区间长度的最小值记：0

自变量在区间内的大小，构成了自变量的可变动区间，即：

若，则

（二）若集合B，，。

区间长度的最小值记：;区间长度的最大值记：0

自变量在区间内的大小，构成了自变量的可变动区间，即：

若，则

上述（一）（二）可总结为：

自变量（b-a或a-b）在区间内的大小，构成了自变量的可变动区间，如果随机自变量（a-b或b-a）的概率密度，，那么它的分布函数可表示如下形式

证明;（1）从分布函数看的对称轴是，因，。所以

时

当时

（2）从密度函数看，。因密度函数要求非负性，此时的负号说明分布函数在定义域内是单调递减的。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论（第四版）[M].高等教育出版社，2013.

[2] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（浙江大学第四版）[M].高等教育出版社，2010.