经济数学在金融经济分析中的应用

湖北第二师范学院 刘 天

作为一个新学科，金融技术是银行技术的组成部分。该研究的目的是对我国数学界某些方面的金融市场进行深入的分析。专注于金融市场公平和证券价格的数学理论。根据国情建立数学模型；编写一些计算机软件并做一些理论研究成果。固定计算；经济计算数据的实际计算；它为真实金融机构提供更多技术分析服务在经济全球化的影响下，我国现代金融经济有着良好的发展前景。经济数学是经济制度的一种新型数学操作法则，包括导数、函数、微分方程等，逐渐成为金融经济问题解决的有效方法，为了推动自身的发展和促进我国经济的进步，现代大学生也必须对经济数学的应用进行明确。

一、微分方程的应用

微分描述事物的变化，而积分描述事物的积累。计算是数学的一个分支，研究与功能有关的概念和应用程序的多样性和集成性。计算基于数字，根据功能和限制

局限性和微积分概念可以追溯到上古。到17 世纪末，牛顿和黎巴嫩人完成了一系列针对数学家的预备研究，各自为此目的进行了计算。他们认为，后来提出的新的微积分概念的理论起点是无限的，其理论基础还不够。柯西和维尔斯特拉斯直到19 世纪才开始复兴宇宙约束理论的新规则。

微积分是多样性和融合的总称，世界上的一切，从大粒子到宇宙的一部分，都在不断变化。因此，可以在引入数学中的变量的概念之后将运动引入数学中。由于科学和技术的诞生和对新学科的需求，数学是在解析几何之后计算的。计算在数学的发展中起着非常重要的作用。在欧几里得几何之后，可以说这是所有数学中最大的发明。

在17 世纪，现代微积分数学发展成为一门学科。但是在远古时代，融合与差异的思想就诞生了。在公元前3 世纪，古希腊的阿基米德征服了抛物线和弓箭领域。球和冠旋转中的身体的研究区域扭曲并旋转。重要的理论问题是间接的。

区分理论基于作为微积分基础的约束理论。微积分是分析连续函数的强大工具。为了能够使用该武器，经济学做出了可靠的假设以满足其使用微积分的范围（即认为物体无法区分的认识）。经济中最常见的问题之一是优化问题（通常是特殊的优化问题），有许多拉格朗日方法方程，库恩塔克条件和欧拉方程可解决这些问题，对经济的持续分析与欧拉方密不可分。

二、函数模型的应用

经济数学的基础是函数。在实际生活问题中，找到相关的因素和其中的函数关系，才能够解决问题。例如在分析金融经济中的供求关系时，需要找到商品价格、商品可替代产品、消费者的消费水平和价值观等因素，找到其中的函数关系，分为供求关系和需求关系，在供求关系中当商品价格越来越高，需求量也越来越大。在需求关系中，商品价格越来越高，需求量越来越小，找到其中的平衡点就是商品的最佳价格。

另一个例子是在金融风险管理中使用Copula 函数。根据Sklar 理论，我们只能将随机变量与多个变量的共同分布描述为每个变量次要分布的相对分布。

从实际应用的角度讲，这样的分解大大简化了我们对金融问题的分析，以及对金融随机变量的刻画和模型的构建。在建模°的过程中，我们可以分别估计各个随机变量的边缘分布，然后选取合适的Copula并估计其参数。这二者是独立的。甚至我们可以根据我们的需要，选择不同边缘分布与copula的任意组合。这一灵活(flexibility)使得Copula 成为建模中-类强大的工具。

具体应用举例:

（一）CDO 定价

在CDO 定价中，核心是得到标的资产池(underyingportfolio)的违约损失分布。为此，我们需要刻画每种标的资产的边缘违约损失分布，同时也需要对它们之间的关联性进行建模。边缘分布比较简单，我们可以通过对每种标的资产发行方的CDS 曲线，通过bootstrapping 得到其hazardrate，以及违约概率的期限结构(前提是选取给定的LGD)。关联性，最基础的出发点是GaussianCopula，其实质是用一个参数，也就是隐含相关系数(implied correlation)来刻画整个资产池的dependencestructure。当然，类似BlackSchole 公式中常数波动率的局限，实际当中我们不可能指望通过一个相关系数就match 所有的市场上交易的indextranchequote°，因此市场的惯例是对每个交易的indextranche(比如，5 年到期CDX。NA。IG。8 的[3%，7%]tranche)，根据1-factorGaussianCopula得到一个隐含相关系数，所有的相关系数的集合称为basecorrelationsurface(固定期限)或basecorrelationcube°(允许期限变动)

（二）CompositeCopula

某些情况下，如CDO2(这种产品在2008 年之后基本。上逐渐绝迹)我们可能需要对不同的标的资产选取不同的边缘分布。比如对于某些较大的资产池选用正态分布，而对于较小的资产池选用更加准确的二项分布，甚至是通过卷积得到的理论上的精确分布。而dependencestructure 依然选用GaussianCopula。这就产生了所谓的CompositeCopula 或者QuasiCopula。注意在这种情况下边缘分布可以是非参数或半参数的而非一-定要有解析形式，比如通过kernel 得到的分布形式。

（三）资产组合风险(PortfolioRisk)

通常是通过PCA 将系统分解为几个主要的风险因子，对每个风险因子的边缘分布进行估计，然后通过Copula 来对因子之间的dependence 进行建模。注意，通常在这类应用中，因子的个数也就是Copula 的维数不能太高，否则会引入过多参数从而影响模型的健壮性。另外，如果因子之间的关联偏离正态分布较明显，一个方法是使用ICA 来替代PCA，这样接下来就不用再次估计Copula，因为ICA 所得到的因子是相互独立的，或者说这时的Copula 退化为简单的乘积函数。

（四）EquityBasketDerivatives 的定价

与CDO 有些类似，只不过标的资产换成了一篮子股票而非债券或CDS。这时依然可以用Copula 来描述不同股票价格之间的关联性。

三、极限理论的应用

金融数学的一个核心理论是极限理论，它是金融数学的基础理论概念，在经济管理活动中具有重大作用，相比较传统分析方法，但你们能够更加的体现出事物的消长情况与经济活动的发展规律。普遍运用于金融分析，后来分析金融复利，计算年金等收益问题时，都可以利用极限理论，主要是工作人员利用机械理论建造数学模型，无论是需求模型还是成本模型，都可以将活动中的变量转化为计算了常量，使经济活动分析结果清楚明了。该方法是市场上用于金融分析最科学的方法。

四、导数与微分理论的应用

导数是数学比较常见的理论，同样它可以利用在金融分析中。它与极限理论一样，能够建立数学模型来进行金融经济预算。比较长就能有以下几种。

（一）边际和弹性

边际是金融中一种常用的概念，它是经济的变化率。也就是说，企业风险的派生称为保证金。使用意义的经济利益称为有限利益方法。通过使用这种方法，我们通常可以降低总成本，平均费用；不太重要的方法。总收入平均收入;微不足道的收入；毛利，平均利润通过获取函数和方程式总结变量之间的关系。例如，通过使用分析销量和利润变化的方法来识别方程式，对企业最重要的要求是最小的收入等于最小的成本。运营最大化利润的充分条件是边界收入的变化率小于成本的变化率。将这两个结论结合起来就是最大利润的原则。

（二）弹性与弹性分析

弹性概念在很大程度上反映了经济变化对另一种经济变化的反应程度。首先我们要提出具体的问题，再把弹性进行相关的定义，再找到供求和需求的价格弹性。列出方程，得出结论。

金融分析中，大多数函数关系都可以利用导数和微分进行计算，在应用金融分析的时候，我们可以通过方程得到准确的数据，从而算出金融经济中的最低成本，找到最佳方案，尤其是在进行弹性研究时，利用导数理论计算产品的供需关系，找到最合理的价格区间，计算出最低成本和最小值问题，得到最大利润，进而总结出最佳资源配置方案。

五、结束语

综上所述，传统的金融分析方法已经不适合现代社会市场，互联网带动了国家经济的发展，也带动了企业的信息变革与收益分配，我们应该选择先进的经济数学分析方法来弥补之前市场的漏洞与不足。数学的严谨性能够给金融市场带来变革将其与经济分析方法相融合，能够提高企业收益分配的准确性与合理性政策的科学性，对解决收益问题，促进市场发展具有重大作用。