顺“理”而为，感悟概念本质——以“认识一个整体的几分之一”为例

江苏省宜兴市陶城实验小学 陈 涛

数学概念是反映数学知识本质属性的思维形式，是数学基础知识的重要组成部分。“理”，既是指学生对具体数学概念的理解，还包括数学概念的本质属性，即数学概念本身的原理。教学中，我们要对概念追本溯源，在合理把握概念本质、精准研读教材的基础上，本着为学生理解而教的原则，有效促进学生对概念的掌握。下面就以三年级下册“认识一个整体的几分之一”为例，谈谈我的做法和想法。

一、生“理”：依托丰富的表象初步揭示含义

《数学课程标准（2011年版）》指出：教师教学要从学生的生活经验和已有的知识背景出发。教师教的过程既要从数学内容的本质出发，又要尊重学生的认知特点。学生学习新知的过程要从已有的经验处萌芽，要解决好“从哪里来”的问题。

“认识一个整体的几分之一”是在三年级第一学期学生认识了一个物体的几分之一和几分之几的基础上进行学习的。从一个物体的几分之一到一个整体的几分之一，这是分数含义的一次主要拓展。在课始，就要抓住学生的认知基础从“一个物体的”开始复习旧知，然后把6个桃装进一个盒子，打通“一个物体”和“一些物体”，把它们联结起来，使学生初步感受“一些桃”可以看成“一个整体”。学生建立起这样的认识后，势必解决了认知障碍，学习例1 就水到渠成了。

通过创设有趣的童话情境，运用观察图形、动手操作等直观教学，一方面激发学生主动学习的兴趣，另一方面通过对具体实例的分析、概括和抽象，使学生初步对分数的内涵有一定的认识。

二、道“理”：依托规范的语言描述进一步明晰思维

众所周知，语言是思维的载体。理不说不透，话不讲不明。分数意义模式化的表达方式便于教师在交流中发现学生是否关注到了平均分，是把什么看成了一个整体。通过学生发言完成纠错、补充、肯定的表达过程，实质上也是一个不断完善个体思维的过程。

例如，在复习旧知环节，由于时间过得太久，很多学生对1/2的含义已经不能够准确表达，从“把一个蛋糕平均分成2份”说起，到总结归纳它们都是“把一个物体或者图形平均分成2份，每份就是这个物体或者图形的1/2”，至此，学生关于分数的知识储备已经准确释放。

在教学例题时，教师明确指出：为了便于研究，在数学上，我们通常把一盒桃、一盘6个桃，像这样的“一些桃”就看成是“一个整体”。例题学习之后，教师要注意留给学生充分的说理时间和空间，有意识地规范学生表达：把6个桃看成一个整体，把一个整体平均分成2份，每份是这盘桃的1/2。随后，教学“把4个桃平均分成2份”“把8个桃平均分成2份”，学生动手、动脑的效果均可从动口表达的过程中体现，便于教师调整教学思路，引导学生明细思维，从而让深度学习真正发生。

三、清“理”：依托反复比较分层感悟本质

学生对概念的认识是一个逐步完善、逐步明晰的过程。著名教育家乌申斯基曾说过：比较是一切理解和一切思维的基础。在数学教学中，巧妙运用对比的策略，可以让沉潜的本质浮出水面，利于弄清知识间的区别与联系，促进理解、内化。

比如，把4个桃、6个桃、8个桃平均分成2份的结果放在一起比较，有利于学生认识到：1/2和要分的桃的总数没有关系，只要把一个整体平均分成2份，每份就可以用1/2 来表示；比如通过1/2、1/3、1/6的比较，学生进一步认识到这三个分数和桃的总数没有关系，和每份桃的个数也没有关系，只和要分的份数有关系。它们都表示其中的一份和总份数之间的关系；比如把12个桃平均分成2份、3份、4份、6份、12份，分的结果放在一起比较，让学生认识到这里的几分之一只和平均分的份数有关，强化了对分数意义本质的理解。在课堂中，通过数次不同角度的对比，层层递进，引领学生思维不断进阶，思维走向深度。

四、推“理”：依托核心问题，引发深度思考

按照史宁中教授的观点，分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间整数的比例关系，也就是整比例关系。这节课涉及的实例都是表达整体与等分的关系，都是把学生对分数的认识从以往的“部分—整体”关系引向如今的“子集—集合”关系。

“认识一个整体的几分之一”核心问题就是使学生认识到：把一个整体平均分成几份，每份就是这个整体的几分之一，这个几分之一只和平均分的份数有关系，和要分的总数，每份的个数没有关系。通过教学，要注重学生认知经验的不断积累，着重引导学生实现对分数认识的提升，即从以往的“部分—整体”模式向“子集—集合”模式过渡，这个过程也是激发学生深度思考，提升思维能力的过程。为此，教师精心安排了两次推“理”活动。通过第1个层次的学习活动（平均分6个桃、4个桃、8个桃、一筐桃），学生要能回答：为什么要分的桃的总数不同，分的结果却都可以用来1/2表示？并且追问：每一份的个数相同吗？引导学生认识到，这里的1/2 是表示其中的一份和整体总份数的关系。再通过第2个层次的学习活动（同样是6个桃，平均分成2份、3份、6份的情况），学生要能够回答：为什么要分的桃的总数相同，分的结果却可以用不同的分数来表示？并且追问：每一份的个数相同吗？这样学生在富有挑战的问题中积极思考，有利于对分数的含义，建立起更深层次的理解。

五、梳“理”：依托知识联系，构建认知结构

数学知识有很强的系统性和逻辑关联。课标明确指出：要注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系。教师有责任将数学概念进行整理、归类，并厘清概念之间的关系，从而使概念纵横贯通，助力学生理解。

从“一个物体”到“一个整体”再到五年级学习分数的意义认识单位“1”，可以说，这节课的内容在教材体系中处于承上启下的位置，这和分数的概念本质与儿童对分数认识的规律相符，这就是教材在编排上的“理”。基于这个特点，教师可采取这样的设计进行梳理讨论：在进行全课小结的时候引导学生回顾反思，屏幕呈现几种把一个物体平均分的实例，引导学生发现共同之处是把“一个物体”平均分；再出现几种把一些物体平均分的实例，引导学生发现共同之处。从“一个物体”到“一些物体（即一个整体）”，发现两种平均分的共性都和“1”有关系，提出问题：关于1又有什么数学秘密呢？提前为五年级的学习埋下伏笔，同时使学生对“分数意义”的编排有一个初步的感知。

综上所述，在教学“认识一个整体的几分之一”时，我们要深刻、准确读懂教学内容，既要“顺”教材编排的“理”，也要“顺”儿童认知的“理”，通过充分调动多种感官进行抽象和概括，使学生深刻感悟概念本质。