浅谈物理学习中数学素养的培养———以2020年高考全国卷Ⅰ理综第18题的

◇ 云南 蒋金团

数学和物理不仅在科研上密切相关,在实际的学习中,两者间的关联也无处不在.物理学科的思维模式、思维方法与数学的思维模式、思维方法有许多异曲同工之处,将一些物理问题转化为数学问题,有助于我们更加清晰、更加深刻地看到问题的本质.2020年高考全国卷Ⅰ理综第18题,就是这样一道巧用数学知识突破物理难点的好题.这道题涉及的物理情境是带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动,是考生非常熟悉的物理模型,但命题者巧妙地把题目的难点设置在临界轨迹的寻找上,并且临界轨迹的寻找与往常的题目有很大不同,平常所用的放缩法和旋转法在这里并不适用,考生一时难以下手.这道题不仅考生觉得难,很多教师也觉得难度不小.本文尝试从数学的角度对题目涉及的临界轨迹进行探秘,以供参考.

1 试题的5种解法

图1

原题一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图1中虚线所示为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( ).

分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,运动时间由圆心角和周期共同决定,而运动周期与粒子的速度无关,因此,要让粒子的运动时间最长,只需让粒子转过的圆心角最大即可,考虑到圆心角是弦切角的两倍,本题既可以从圆心角的角度寻找临界轨迹,也可以从弦切角的角度寻找临界轨迹.

解法1 临界条件法

设半圆边界的半径为r,带电粒子的轨道半径为R,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由牛顿第二定律得,匀速圆周运动的周期为联立两式可得.带电粒子在磁场中运动的时间,所以要让粒子的运动时间最长,只需运动轨迹对应的圆心角β取得最大值即可.

图2

如图2所示,其中A点为ab半圆的圆心,B为射出磁场的点,根据圆心角与弦切角的关系可得,圆心角β＝2×(90°＋θ),当弦长cB与半圆边界相切时,θ取得最大值,β也取得最大值,此时有30°,所以粒子运动的最长时间故选C.

解法2 正弦定理法

如图3所示,设半圆边界的半径为r,根据圆心角与弦切角的关系可得,圆心角β＝2×(90°＋θ),当θ取得最大值时,带电粒子的运动时间最长.在△ABC中,由正弦定理可得当sin∠ABc＝1时,θ取得最大值,此时有,即θ＝30°,所以粒子运动的最长时间,解得t＝故选C.

图3

解法3 余弦定理和均值不等式法

如图3所示,设半圆边界的半径为r,根据圆心角与弦切角的关系可得,圆心角β＝2×(90°＋θ),当θ取得最大值时,带电粒子的运动时间最长.

令|Bc|＝x,在△ABc中,由余弦定理得

解法4 余弦定理和一元二次函数法

如图4所示,设半圆边界的半径为r,带电粒子的轨道半径为R.设轨迹圆的圆心为O′,半圆边界的圆心为A,在△O′AB中,由余弦定理得

图4

解法5 余弦定理和导数法

如图4所示,设半圆边界的半径为r,带电粒子的轨道半径为R.设轨迹圆的圆心为O′,半圆边界的圆心为A,在△O′AB中,由余弦定理得

令(cosα)′＝0,解得R＝r,即当R＝r时,α取得最大值,此时

所以α角的最大值为α＝60°,因此粒子运动的最长时间为故选C.

小结本题考查带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题,这是一个考生非常熟悉的模型,很多考生都能熟练运用洛伦兹力和圆周运动的相关知识推出最大运动时间由最大圆心角决定,进而知道解答本题的关键是找出最大圆心角对应的临界轨迹.但是在实现物理问题向数学问题的转化之后,不少考生难以建立正确的数学模型,无法用学过的数学知识找到解决问题的突破口.出现上述问题的根本原因是考生缺乏学科融合的理念和学科迁移的能力,因此在日常教学中,物理教师应择机抓住结合点,渗透数物融合的理念,更加全面地提升学生的核心素养.

2 物理教学中提升数学素养的策略

1)加强物理教师与数学教师之间的交流,以发展新课程改革所提倡的学习方式——探究与合作.合作交流是新一轮课程改革的重要主题之一,但是在大多数人眼中,交流只是学生与学生、学生与教师之间的事,很少有人关注不同学科教师之间的教学交流合作.交流合作不仅仅是一种互相帮助、彼此共赢的学习方式,也是一种非常重要的教育观念.教学知识和教学方法的交流不同于物质交换,思想交流迸发出来的是更加强大、更加全面的智慧火花,这必将使得各学科教师都能在自己薄弱的方面有所提升.物理教师应加强与数学教师之间的交流合作,通过交流了解物理和数学两学科之间共有的知识结构,从而抓住适当的时机在物理教学中对涉及的数学知识进行补充和拓展,比如教授抛体运动知识之后,我们可以补充一些抛物线方程的知识;再如教授磁场中圆周运动的相关知识以后,我们可以补充一些圆方面的数学知识,从而提高学生的综合能力和核心素养.

2)鼓励学生从数学的角度审视物理问题,在实际教学中,物理教师可以运用大量的物理问题引导学生认识数学在物理中的重要性,同时鼓励学生把一些物理问题“翻译”成数学问题.通过不断的引导与鼓励,使学生头脑中形成应用数学知识处理物理问题的意识,随着物理知识和数学知识的不断扩充,学生越来越意识到数学知识在解决物理问题中的重要性,并将其运用在自己的物理学习中,逐步尝试应用已有的数学知识解决物理问题,进而掌握相关的方法与技巧,从而使处理实际问题的综合能力螺旋式上升.