范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用

韩荣梅

（内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院，内蒙古 包头014000）

1 范德蒙行列式在多项式中的应用

分析多项式中求根类的题目时，范德蒙行列式和一些特殊的性质能提升解决问题的效率，亦能间接的帮助我们解出问题的结果，让解题过程更清晰，易懂。

例1：假设f（x）=b0+b1x1+b2x2…+bnxn，若f（x）至少有n+1 个不同的根，则f（x）=0。

证明：

取x1，x2，…，xn+1为f（x）的n+1 个根，且各不相同。代入得：

其中b1，b2，…，bn做未知量。

其中的系数行列式中xi≠xj（i≠j）。该式又为范德蒙行列式，故而：

所以方程组（1）只有零解。从而b0=b1=b2=…=bn=0，即f（x）=0。

例2：在数域F 中，设b1，b2，…，bn为互不相同的数，而c1，c2，…，cn为数域F 中的任意一列不全为零的确定的数。则存在唯一的数域F 上的次数小于n 的多项式f（x），使f（bi）=ci（i=1，2，…，n）

证明：

设f（x）=d0+d1x+…dn-1xn-1由题f（bi）=ci（i=1，2，…，n） 可知：

由题可知b1，b2，…，bn之间都是不同的，这样它就变成了一个范德蒙行列式。

那么其结果就为：

故而有唯一的解，且解为次数小于n 的多项式，f（x）=d0+d1x+…dn-1xn-1，能让f（bi）=ci（i=1，2，…，n）

不难发现，范德蒙行列式在多项式中的应用方法很便捷，可以通过创建向量组等方法，亦或者通过取不同的根引入多项式中，将系数看作未知量。得到一个系数行列式。就构造了新的范德蒙行列式。然后通过范德蒙行列式，直接得到结果或一些性质或者是证明结果。

2 范德蒙行列式在线性变换中的应用

线性变换是高等代数中的一个难点。将范德蒙行列式应用在其中，能提升效率并且能使得解题进程变得简洁，易懂。

例3：设β1，β2，…βn是线性空间V 的一组基，σ 是V 的线性变换，有σβi=β1+aiβ2+…+ain-1βn，证明：σ 是V 可逆的线性变换。

证明：

由已知得

其中的

式（3）为范德蒙行列式，所以

因此B 可逆。所以σ 为可逆线性变换。

例4：在数域F 上，设n 维向量V 的线性变换为σ，有n 个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn证明：所有的e，σ，σ2，…，σn-1（e 表述恒等变换）是与σ 能够交换的V 的线性组合[7]。

证明：

设线性变换δ 是与σ 可交换的。且σ（ai）=λiαi（i=1，2，…，n）

则Vλi={kαi|k∈F}就是δ 的不变子空间。

令

则由该方程组

可知式（4）的系数行列式是由范德蒙行列式构成的，且

所以方程组有唯一解。故δ 是e，σ，σ2，…，σn-1的线性组合。

3 范德蒙行列式在向量线性相关性中的应用

例5：尝试证明在空间中含有一个向量集包括了无限多的向量。此向量集中的任何三个向量都线性无关。

证明：

取向量集于这个空间中{（1，k，k2）|k∈z}，而在这个集中任意的3 个向量形成的向量组，所构成的三阶的行列式

行列式（5）构成了范德蒙行列式。所以可知它一定不是为零的，因而它们必线性无关，即取得的向量组满足标题中的前提条件。

例6：设λi（i=1，2，…，m）是n 阶矩阵A 的不同的特征值。在矩阵A 中的与特征值λi联系的线性无关的特征向量是ξi1，ξi2，…，ξiti（i=1，2，…，m），则ξ11，ξ12，…，ξ1t1，ξ21，…，ξ2t2，…，ξm1，ξmtm是线性无关的一组向量组。

证明：

设有ki1，ki2，…，kiti（i=1，2，…，m）使得

令

则式（6）可写为

又ξij（j=1，2，…，ti）是特征值λi的特征向量，

故

由式（7）同时左乘A 及式（8）得

再次左乘A 得

重复进行得到：

写为矩阵

则C 矩阵即式（10）的行列式为范德蒙行列式，所以

又因为λi（i=1，2，…，m）各不相同，可知|C|不为零；从而C可逆。

将式（10）右乘C-1得，（η1，η2，…，ηm）=0，有ηi=0（i=1，2，…，m）

所以向量组ξ11，ξ12，…，ξ1t1，ξ21，…，ξ2t2，…，ξm1，ξmtm线性无关。