分类列举 不重不漏

问题1：有1 克、3 克、5 克、9 克的砝码各一个，选取其中的一个或几个放在天平的一端，能称出多少种不同质量的物体呢？

思路点睛：解答本题需要用一一列举的方法，也就是把所有符合条件的答案都列举出来。根据“砝码的种类”以及“选取其中的一个或几个”，我们需要有序思考：

只选一个砝码，有：1克、3克、5克、9克，4种情况。

选2个砝码，需要组合，有：1+3=4（克），1+5=6（克），1+9=10（克），3+5=8（克），3+9=12（克），5+9=14（克），6种情况。

选3个砝码，有：1+3+5=9（克），1+3+9=13（克），1+5+9=15（克），3+5+9=17（克），4种情况。

选4个砝码，只有1种组合：1+3+5+9=18（克）。

总计是4+6+4+1=15（种），其中单独用9克的砝码和用1+3+5=9的组合，都能称出9克的物体，重复计算了一次。所以正确的答案应该是15-1=14（种）不同的情况。

通过本题的计算，我们有这样的体会：当题目的答案比较繁杂时，可以通过分类列举法来帮助我们思考。分类一定要包括所有可能的情况，这样才能不遗漏；而且所分类别之间不能重叠，这样才能做到结果不重复。最后所求结果如果有重复的，一定要扣除。

问题2：有2张伍元、3张贰元、7张壹元人民币。要拿出12元，可以有多少种拿法？

思路点睛：有序思考，比如从2张伍元想起。

1.拿2张伍元，有以下情况：

（1）2张伍元，1张贰元；（2）2张伍元，2张壹元。

2.拿1张伍元，有以下情况：

（1）1 张伍元，3 张贰元，1 张壹元；（2）1 张伍元，2 张贰元，3 张壹元；（3）1张伍元，1张贰元，5张壹元；（4）1张伍元，7张壹元。

3.拿0张伍元，3张贰元，只有一种情况：3张贰元，6张壹元。

如果拿2张贰元，是4元，它和剩下的7张壹元相加不够12元，所以不行。

至此，一共有2+4+1=7（种）不同的拿法。