面向几何直观和计算思维的线性代数混合式教学方案

张大明 李璐 刘华勇

摘 要：提出一种面向几何直观和计算思维的线性代数课程混合式教学方案.新的混合教学模式可以在线性代数中培养学生的几何直观能力和计算思维能力，既有利于教师持续提高教学水平，也有利于学生提高信息化学习能力和自我思考能力.

关键词：线性代数;几何直观;计算能力;混合式教学

[中图分类号]G623.5   [文献标志码]A

Abstract：A teaching scheme based on geometric intuition and calculating ability in linear algebra course is proposed.The new blended teaching scheme aims to improve the geometric intuition and calculating ability in linear algebra course.Then，the teaching competence of teaches will be polished，and the informatization learning ability and the self-taught ability will be improved at the same time.

Key words：linear algebra;geometric intuition;calculating ability;blended teaching

线性代数问题广泛存在于自然科学和工程技术的各个领域中，其理论和方法得到广泛的重视和应用.线性代数是高等数学中的经典理论课程，对于培养学生的抽象思维和科学素养具有重要作用，是理学和工学等专业的公共基础课.线性代数的概念因其抽象性和形式化，使得學生在学习过程中产生了较大的困难.学生难以理解线性空间理论中的形式化，更难以解释形式化的概念跟几何或线性方程组理论中更直观内容之间的关系.

形式化将数学定义为严密的证明科学，做数学的唯一方法就是进行证明，只有通过严密证明得到确定的数学结论，才是完成了做数学的过程.杜宾斯基[1]指出，学生在学习线性代数时，遇到困难的原因包括：（1）教师是教学的主导者，他在教学过程中完全是单向的向学生灌输各种概念、定义和定理，学习的内容和必要的操作也是完全由教师来告诉学生.数学思维的过程是完全由教师来进行展示和操作，学生往往不理解概念的意思，但是可以直接进行计算的操作.学生只记住了概念，就可以直接应用相关的算法来解题——如用高斯消去法进行初等行变换，可以得到矩阵的阶梯形——这是线性代数的优点，同时也是数学教学所面临的弱点和挑战.（2）学生缺乏对于线性代数所需背景概念的理解，这些背景概念往往能够解决线性代数之外的很多问题.通常这些问题是数学家所不关心的，也是数学教师所不了解的，但对于学生的学习而言却很重要——它们助于建立学习的动机.（3）缺乏有效的教学策略让学生形成自己的思考.一味的接受现成的理论和方法，不利于帮助学生建构自己对概念的理解.

线性代数的某些概念在三维以下空间中具有形象的几何意义.从数学的发展来看，几何与代数是很难完全分离的，所以线性代数的几何化能够真正建立概念意象.人们设计并实施以几何的方式融入线性代数教学的方案，将线性代数概念赋予更多具体的几何意义，以此克服抽象的概念所带来的困难和形式化的障碍.[2-3]但同时也需要注意到，从几何的角度引入概念，会让学生很难与代数表征关联起来，在推广形式化概念的过程中会遇到一些困难.[4]由于几何只能限于三维空间，如秩、合同等概念，在几何情境下讲述就会受到很大的限制.所以，几何直观在线性代数中虽然是一种常用的手段，但在现实几何中的使用常常流于表面，甚至是肤浅的.对于学生而言，在线性代数中利用几何表示或以几何为参照物，并不总是有益的.换言之，几何参照有时成了学生理解一般线性代数的障碍.因此，几何直观会成为一个积极的因素，但必须加以精心设计和使用，要在把与代数的联系讲清楚的条件下使用.[5-6]

1 几何直观教学实践

混合式教学的思路：教学要由直观到抽象，由低维到高维，再指导具体的问题解决.首先，阐述线性代数概念中的低阶几何意义，借助数学软件演示实现数与形的结合，使得学生能直观的体会概念在二维三维空间中的几何意义;其次，推广到一般的高维空间中去，抽取具体几何意义，在抽象的意义上进行论证，在具体几何应用中讲解其一般概念.

1.1 从二维、三维的几何意义出发使学生领会教学内容的本质

线性方程组是线性代数中最为经典和重要的内容.一般比较重视高斯消去法解法步骤的教学，注重对方程组无解、唯一解和无穷解的秩的判别方法解释，往往会陷入到机械的解题步骤训练和枯燥定理的记忆中去，不利于学生深刻把握问题的实质.笔者从二维、三维的几何意义出发，使学生更加容易领会教学内容的本质.

A和A～分别表示方程组系数矩阵和增广矩阵.

这种归纳教学，非常有利于学生将方程组理论用几何图形进行直观，理解.进一步把方程组推广到高维情形下，用图形帮助学生理解方程组解的情形的判定，深入理解方程组中一系列定理的本质.

r是系数矩阵的秩，也是最终方程的个数，n是未知数的个数，n-r是自由未知量的个数.n=r则没有自由未知量，那么，解当然就唯一（图4（a）），否则r

1.2 利用正交变换保持图形几何性质不变的特性，解决复杂的二次曲面（线）形状问题

正交变换有保持图形几何性质不变的特性，对于解决复杂的二次曲面（线 ）的形状问题具有很大的优越性.一些二次曲面，直接看不出它的图形类别，通过正交变换之后，就可以判断曲面的类型.这个过程相当于从几何图形上寻求二次型主轴的问题，通过正交变换使得相应矩阵对角化，即找其主轴大小和方向，也就是求矩阵的特征值和特征向量.用特征向量组成正交矩阵，把二次型对角化，简化二次型，从而判断二次曲面的类型.

例如判断方程3x2+4xy+2z2=1所代表的二次曲线类型.方程左边实际上是三元的二次型，可设为f（x，y，z）=3x2+4xy+2z2，其对应矩阵为：3 2 02 0 00 0 2.

容易求得其特征值为4，2，-1，从而可得原二次曲面的标准方程为4x21+2y21-z21=1，易知该曲面为单页双曲面，见图5.

三元二次曲面的图形大致可以分类为椭球面、双曲面、圆锥面、柱面、平面及直线等，其标准的二次曲面方程参考文献[7].

二次型的几何意义除了体现在判断二次曲面的几何形状外，其正定性也有明显的几何意义.当函数为正定二次型时，可由坐标变换化为系数全为正的标准型，于是图形横切面f（x，y）=c是以原点为中心的椭圆族，随着c减小且趋于零而收缩到原点.

如f（x，y）=14x2+y2是一个正定二次型，它的图像是一个开口朝上的椭圆抛物面，整个曲面除顶点在坐标平面原点上，其余均在x oy平面的上方（图6（a））;f（x，y）=2x2是半正定二次型，它是一个开口朝上的抛物柱面，整个曲面有一条母线在x oy面上，其余均在x oy面上方（图6（b））;f（x，y）=xy是一个不定二次型，图形是一个马鞍面，显然马鞍面上正值、负值、零都是存在的（图6（c））.

2 计算思维教育

计算思维教育是将知识传授与能力的培养相结合，着眼于使用计算机方法实现对数据的处理与模型求解.计算思维是以表达和计算为特征进行问题求解、系统设计以及人类行为理解的思维活动.[8]

计算思维贯穿于理工科的各个专业.作为理论基础课程的线性代数，其内容与本质和培养学生的计算能力和创新能力是一致的，大數据和人工智能是以矩阵向量等为工具进行基本数据计算实现模型的推理.线性代数的一些主要计算方法体现了许多计算思维的本质问题——如行列式、矩阵初等变换、矩阵求逆等问题——有着非常规整和严格的算法，也非常适合算法设计与计算机实现，学生在大学低年级阶段，通过线性代数课程的学习，可以提高建模能力和计算思维能力.

第一，有利于教师个性化指导.混合式教学可以进行线上线下多方面的交流与指导，深程度地参与学生的监督与交流过程，多方面掌握学生的学习效果与特征，为学生提供丰富的学习资源，实现因材施教，个性化教学，最终提高学生对概念的理解.

第二，有利于对学生计算思维、逻辑思维以及自学能力的培养.学生在设计算法和编制程序时，需要从数据的结构出发，考虑程序的严谨性，还需要查阅资料，进行广泛的阅读.教师通过引导学生分析和完善示例程序，从定义到手工计算，再到算法设计和编程以及程序的调制，通过一系列的学习流程，提升学生的计算能力.

第三，混合式教学可以实现理论与实际相结合，综合提高学生的思维能力、计算能力和动手能力，实现理论知识、设计算法和编程的学习，为后续专业学习培养坚实的计算思维能力.

笔者以逆矩阵的求解问题为例，说明计算思维教育的具体做法.

3 结论

提出一种面向几何直观和计算思维的线性代数课程混合式教学方案.新的教学方案可以在线性代数中培养学生的几何直观能力，培养学生的计算思维能力，既有利于教师持续提高教学水平，也有利于学生提高信息化学习能力和自我思考能力.

参考文献

[1]DUBINSKY E.Some thoughts on a first course in linear algebra at the college level [C].CARLSON D，JOHONSON，C R，LAY D C.Resources for the teaching of linear algebra.The Mathematical Association of America，1997：85–105.

[2]杜美华，孙卫卫.三元齐次线性方程组的几何解法[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（3）：8-10.

[3]宋晓辉.线性代数教学中学生逻辑思维能力的培养[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（1）：62-64.

[4]CARLSON D，JOHNSON C，LAY，et al.The Linear algebra curriculum study group recommendations for the firstcourse in linear algebra [J].College Mathematics Journal，1993 （24）：41–46.

[5]David C.Lay，Steven R.Lay，Judi J.McDonald.Linear Algebra and its Applications 5e[C].Linear algebra and its applications.Wiley-Interscience，2004.

[6]陈怀琛.论工科线性代数的现代化与大众化[C].中国电子教育学会高教分会2011年论文集，2011.

[7]任广千，谢聪，胡翠芳. 线性代数的几何意义[M].西安：西安电子科技大学出版社，2015.

[8]Wing J M.Computational thinking[J].Communications of The ACM，2006，49（3）：33-35.

[9]Golub G H，Loan C F V.Matrix Computations[M].Johns Hopkins University Press，1996.

编辑：吴楠