(3+1)维空时分数阶Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的新精确解

黄 春, 孙峪怀

(1. 四川职业技术学院 教师教育系, 四川 遂宁 629000; 2. 四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

分数阶偏微分方程是由整数阶微分方程推广而来,它能更全面地解释实际现象,并且能够深刻描述物体的内在性质.因此它在很多领域发挥了非常重要的作用,如量子力学、电磁学、流体力学、控制理论等[1-3]. 因此寻找分数阶偏微分方程的精确解和数值解对理解非线性物理现象是很有价值的.构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括:exp -展开法[4-5],首次积分法[6-7], Kudryashov方法[8-9],F-展开法[10-11], (G′/G)-展开法[12-15]等.

本文主要研究如下的(3+1)维空时分数阶Yu-Toda-Sasa-Fukuyama(YTSF)方程[16]:

式中,0<α,β,γ,δ<1.(3+1)维YTSF方程经常用来描述区域内孤子和非线性波的动力学,包括流体力学,等离子体物理,弱色散介质等.关于整数阶的(3+1)维YTSF方程精确解的研究已经有许多结果,如Hirota双线性方法[17],经典李群法[18],(G′/G)-展开法[19],F-展开法[20]等.但是,目前对于(3+1)维空时分数阶YTSF方程精确解的研究却很少,仅文献[16]用改进的F-展开法构造精确解,并通过线性分析得到色散关系.本文拟用分数阶复变换将高维空时分数阶偏微分方程转化为整数阶常微分方程, 然后运用扩展的(G′/G)-展开法求解(3+1)维空时分数阶YTSF方程,从而得到与现有文献不同的新精确解.

1 预备知识

修正的Riemann-Liouville分数阶导数由式(2)定义[21]:

(2)

式中:f(x)表示连续函数;Γ(·)为Gamma函数, 定义为

(3)

修正的Riemann-Liouville分数阶导数具有如下性质:

2 方法简述

下面是扩展的(G′/G)-展开法求解分数阶偏微分方程的步骤.

考虑如下的分数阶偏微分方程:

式中:0<α,β,γ,δ<1;u=u(x,y,z,t)是未知函数;p是关于u及其偏导数的多项式.

步骤1 作分数阶复变换,

(8)

这里k1、k2、k3、k4是任意的非零常数.

在计算过程中需要使用导数链式法则:

(9)

将式(8)和式(9)代入式(7)中,式(7)转化为只含变量ξ的整数阶常微分方程

步骤2 假设式(10)的解可以表示为关于(G′/G)多项式的形式,

(11)

式中,ai(i=0,1,2,…,N)为待定常数,正整数N可通过齐次平衡原则确定,且G=G(ξ)满足如下形式的非线性辅助方程:

G″G=AG′2+BGG′+CG2.

(12)

式中A、B、C为实参数.计算方程(12)可得(G′/G)的表达式:

(13)

步骤3 将式(11)和式(12)代入式(10)中,合并(G′/G)的同幂次项,并令各次幂的系数为零,得到关于ai(i=0,1,2,…,N)代数方程组, 计算参数代入式(11),得到式(7)多个不同类型的精确解.

3 运用与结果

首先对式(1)作分数阶复变换, 整理得到常微分方程

(14)

平衡最高阶导数项和非线性项,有N=1,因此式(11)化为

(15)

将式(12)和式(15)代入式(14),合并(G′/G)相同幂次项,并令各次幂系数为零,得到关于a-1,a0,a1的代数方程组

(16)

解上述代数方程组,可得如下2组解:

情形1 当B2+4C-4AC>0,A≠1时,方程(1)有如下形式的双曲函数解:

特别地,C1=0,C2≠0;或者C1≠0,C2=0时,解u1,u2退化为如下的孤立波解:

(21)

(22)

(23)

(24)

情形2 当B2+4C-4AC<0,A≠1时,式(1)有如下形式的三角函数解:

情形3 当B2-4C-4AC=0,A≠1时,式(1)有如下形式的有理函数解:

其中C1、C2是常数.

4 结 论

本文采用扩展的(G′/G)-展开法构建(3+1)维空时分数阶YTSF方程的新精确解, 利用一个非线性常微分方程(12)作为辅助方程, 做正负幂次展开, 获得比文献[16]形式更加丰富的解, 这些解包括含参数的双曲函数、 三角函数和有理函数的精确解通解.当双曲函数的通解中部分常数取特殊值时可得到对应通解的孤立波解, 当参数取特殊值时便得到与文献[16]相同的解.(G′/G)-展开法构造出的精确解丰富了(3+1)维空时分数阶YTSF方程的解系. 该方法具有一定的普适性, 可以用来求解其他分数阶偏微分方程.