对函数零点存在定理应用的补充

广州大学数学与信息科学学院(510000) 林思敏 常春艳

一、函数零点存在定理的解读

(一)函数零点存在定理

由高中的教材(人教A 版)可知,函数零点存在定理是这样描述的:

一般地,我们有

如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函数y=f(x)在(a,b)区间内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的解[1].

(二)定理理解的障碍

定理是一种高度概括的概念,且此定理的讨论基础是函数图象,而中学阶段的学生能画出的函数图象是有限的,会出现图象分析非典型性的现象,影响学生对函数零点存在定理的理解.如: 为什么函数的零点就是方程的根? 零点个数该如何确定呢?“至少有一个”究竟是多少个呢?

函数的零点具有“三重”身份: (1)函数y=f(x)的零点;(2)函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;(3)方程f(x)=0 的根[2].这“三重”身份可以帮助学生理解零点的概念及零点不是点这一易错点.

在教材中,是借助二次函数图象,进行定理的推导.对于零点个数的确定,是否同样可以借助图象来帮助我们更为清晰地理解呢? 是否可以总结归纳出函数零点个数的求解方法呢?

二、函数零点存在定理应用的一点补充

(一)函数零点存在定理应用的补充

一般地,我们有

如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函数y=f(x)在(a,b)区间内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的解.

其中,根据函数在特定区间内的每两个相邻的极值(或在端点的函数值)乘积的正负性,即可求解出函数在该区间内的零点个数.

(二)解说

若函数f(x)在区间内是单调的,则零点的个数会得到控制,只能是1个或0 个,根据函数零点存在定理可知,若零点存在,即零点的个数为1 个.故

图1

如在图1 中,函数f(x)是定义在区间[a,b] 上的,x=a,x=x1,x=x2,x=b,将函数划分为3 个单调区间,由函数零点存在定理可知,f(a)f(x1)＜0,故在区间(a,x1)内,零点的个数为1 个,同理,f(x1)f(x2)＜0(1 个零点),f(x2)f(b)＜0(1 个零点),综上可以得到函数在区间[a,b]内的零点个数为3 个.

综上,根据函数在特定区间内的每两个相邻的极值(或在端点的函数值)乘积的正负性及函数零点存在定理,较为简单地求解出,函数在该区间内的零点个数.此种解法,在解题的过程中,使得类似的题目的解题思路会变得更为清晰,在逻辑上没有很大的跳跃,比较符合学生的逻辑思维.

三、例题

例题(2019年高考全国Ⅰ卷第20 题)已知函数f(x)=sinx −ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:

(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点;

(2)f(x)有且仅有2 个零点.

解(1)略.(2)f(x)的定义域为(−1,+∞).

①当x∈(−1,0]时,由(1)知,f(x)在区间(−1,0)上是单调递增,且f(−1)=−∞,f(0)=0,可得函数f(x)在区间(−1,0)上没有零点,而x=0 是f(x)在区间(−1,0]上的一个零点;

②当x∈时,由(1)知,存在α∈使得当x=α时,有f′(x)=0.由于f(0)=0,f(α)=sinα −ln(1 +α)＞0,可知f(x)在区间上没有零点;

③当x∈时,由(1)知,f(x)在区间上是单调递减的,且＞0,f(π)=−ln(1 +π)＜0.根据零点存在性定理,由于可得f(x)在区间上有一个零点;

④当x∈(π,+∞)时,由于ln(1 +x)＞1,所以f(x)＜0 恒成立,故f(x)在区间(π,+∞)上没有零点.

综上,f(x)在定义域(−1,+∞)上有且仅有2 个零点.借助软件画图(如图2)可知,此结论正确.

图2