一道调研题的深度探究

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、题目呈现

题目已知一个正方形的四个顶点都在函数f(x)=+1 的图象上,则此正方形的面积为( )

这是武汉市武昌区2020 届高三年级四月调研考试理科第12 题,是一道顶点在三次函数图象上的正方形(该正方形可称为函数的内接正方形)的面积计算题.本题短小精悍,综合考查考生逻辑思维、转化、推理论证、运算、以及分析问题和解决问题等方面的能力,思想方面重点考查数形结合、函数方程、转化与化归思想.本题作为选择题中的压轴题起到了把关作用,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证、运算能力有较高的要求,难度较大.

二、试题的溯源

问“题”那得清如许,唯有源头活水来,本试题的题源来自于2018年9月根源杯奥林匹克邀请赛一试第8 题:

若有且仅有一个正方形,其中心位于原点,且其四个顶点在曲线y=x3+ax上,则实数a=____.

对试题的探源,可以让我们更深刻地认识问题.可以看出原试题的“母题”来源于上述竞赛题,只是将题目进行适当的改编而已,这说明命题人很重视命题的传承和相互借鉴.所以教师要善于钻研,用“慧眼”去发现有典型性、可拓展性的题目,善于作解后反思,方法的归类,规律的总结与技巧的揣摩,再进一步对题目进行挖掘、拓展、引申,扩大题目的辐射面,以此提高学习的效率.

三、一个值得商榷的解答

解答将函数f(x)=图象向下平移一个单位得y=x3−因为是奇函数,其图象关于原点O(0,0)对称.又因正方形的四个顶点都在函数y=x3−的图象上,且正方形是中心对称图形,所以正方形的中心是原点O(0,0).

图1

如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y4),D(x4,y4),设直线AC的方程为y=kx(k ＞0),则直线BD的方程为

联立解得x=0(舍去),或

在正方形ABCD中,由即

设正方形ABCD的面积为S,则

评析上述解答与网上流传的各种解法一样,虽然都求得了结果,但均未对“函数的内接正方形的中心与三次函数的对称中心重合”这一关键点作出严谨证明,或是默认两者重合,或是以“显然”,“易知”一句带过.然而,这一关键点的并不是“显然”的,应该给出相应的证明,所以上述解答是不严谨的.本文在后面会给出“函数的内接正方形的中心与三次函数的对称中心重合”这一结论的证明,在此不重复.

四、问题的提出

思考对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ＞0),考虑如下问题:

问题1函数f(x)图象上是否存在内接正方形? 若存在,有几个?

问题2若函数f(x)图象上存在内接正方形,如何求正方形的面积?

问题3若函数f(x)图象上存在内接正方形,如何求正方形相关的其它量(如顶点坐标,边长等)?

五、深入探究

设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ＞0)的图象为C1,可知f(x)的对称中点为将C1按向量n=平移,则平移后所得C2图象对应的函数为y=ax3+=m,则y=ax3+mx,由于y=ax3+mx是奇函数,故y=ax3+mx的对称中心为坐标原点O(0,0).

若m≥0,则函数y=ax3+mx在(−∞,+∞)上为增函数,因此曲线C2不存在内接正方形.故在以下的探究中,设定m ＜0.

设函数y=ax3+mx的内接正方形ABCD的中心为O′(x0,y0),则AC与BD交于O′,又 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y4),D(x4,y4).

直线AB的斜率为

由于AB//CD,BC//DA,可得kAB=kCD,kBC=于是

因为x1+x3=x2+x4,于是3(x1+x3)=0,所以x1+x3=x2+x4=0,且

同理y2+y4=0,从而x0=0,y0=0,所以O′(x0,y0)与坐标原点O(0,0)重合.

1.探究内接正方形的个数

如图1,设直线AC的方程为y=kx(k ＞0),则直线BD的方程为y=

得ax3+mx=解得x=0(舍去),或

在正方形ABCD中,由|OA|2==|OB|=即

令t=k −则t2−mt+ 2=0.于是,在方程t2−mt+2=0 中,有Δ=m2−8,所以有:

(2)当Δ＞0,即时,方程有两个实数根;

(3)当Δ＜0,即时,方程没有实数根.

从而可得:

结论1在函数y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,若则函数图象上存在一个内接正方形;若则函数图象上存在两个内接正方形; 若则函数图象上不存在内接正方形.

显然,由结论1,可知前述“题源”中a的值为

2.探究内接正方形的面积与边长

由方程t2−mt+2=0,解得即

如图1,设正方形ABCD的面积为S,则

于是可得:

结论2在函数y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,当时,函数图象上的内接正方形的面积为

结论3在函数y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,当时,函数图象上的内接正方形的边长为

3.探究内接正方形的对角线的斜率

且

且

从而可得:

结论4如图1,在函数y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,当时,函数图象上的内接正方形的两条对角线AC,BD的斜率分别为

4.探究内接正方形顶点的横坐标

由结论4,当k=时,代入①式可求得当时,代入②式可求得同理,当时,可求得当时,可求得于是可得:

结论5在函数y=ax3+mx(a ＞0,m ＜0)中,当时,记函数图象上内接正方形的任意一个顶点的横坐标为xP,则或者

六、结语

学数学离不开解题,数学家波利亚曾说:“掌握数学就意味着善于解题”.引导学生学会解题,是数学教学的重要组成部分.同时,数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题后的回顾,遇到一道经典试题,需要从多角度、深层次探寻其解法,通法也好,巧法也罢,不单要比较其优劣,还要清楚其中的方法内涵,知晓其中的来龙去脉,方能实现试题研究价值的最大化.另外,借助题目进行拓展、引申,探索隐藏在题目背后的奥秘,将研究的问题引向深入,这样我们能领会到试题命制的深刻背景,进而形成一个条理化、有序化的高效的认知结构,从而提炼出数学思想与方法,最终在解题思路上产生质的变化,使思维得到发展.