小学数学教学中的一些说法（一）

汪一敏

在小学数学教学中，常有一些说法似是而非，甚至错误。数学教师对此须有清晰的认识，才能更好地进行教学。

一、一般的平行四边形不是轴对称图形

平行四边形是不是轴对称图形？不少教师还是有疑惑的。有些教师接受了平行四边形不是轴对称图形的观点，在教学中通过让学生对一般的平行四边形进行探索（观察折叠等），从而得到平行四边形不是轴对称图形的结论。但有些教师注意到特殊的平行四边形是轴对称图形，如菱形。

我们在进行判断推理时要用到概念，概念可以指向个体（概念中的元素），也可以指向整体（概念元素的集合）。如“人”，在说理的过程中它是指个体，还是指整体，有时真会把人搞糊涂，所以为了明确地表达观点，在“人”用于表达集合概念时，会用“人类”一词。

但汉语中表达概念的词有这种特性的不多，“白马非马”之所以能把许多人绕晕，就是因为“马”既可以指向个体（具体的马），也可以指向整体（马的集合）。公孙龙牵着白马来到城门前，守城士兵说“马不能进城”，公孙龙说“我的白马不是‘马”……这里士兵所说的“马”是指个体，而公孙龙所说的“马”是指整体（集合概念）。从逻辑上而言，公孙龙的“诡辩”也没有錯，守城士兵无法反驳他，所以让他牵马进城了。

对小学生来说，要理解“白马非马”中的逻辑关系有点困难，因为他们难以理解集合概念的含义。通常他们在使用概念时，往往指向概念所属的个体，从这个意义上说，“平行四边形不是轴对称图形”的说法是不对的，因为平行四边形中的菱形（包括正方形）是轴对称图形。

当我们把“平行四边形”作为单个数学对象即作为集合概念看待时，“平行四边形不是轴对称图形”的说法也没错，就像“白马非马”，这时上课的过程就不是通常所见的了。

当教师理解、清晰了这其中的逻辑关系，就会选择结论：“一般的平行四边形不是轴对称图形。”并在课堂教学中有相应的体现。

二、面动成体的说法极不严谨

点、（直）线、（平）面是几何学的基本元素，这种被抽象了的理想化元素的特点是点没有大小，线没有粗细，面没有厚薄。那种联系长方形说“线”没有宽度、联系长方体说“面”没有高度的表述，既不恰当，也无必要。

点、线、面这种理想化的特征，小学生理解起来有点困难。当年虚数（复数）产生时，曾引起人们的不解和焦虑：它表示什么？如何理解？直到高斯用复平面解释说，一个虚数（复数）表示复平面上的一个向量，才消除了人们的焦虑。用数学模型表征数学概念，可加深学生对数学概念的理解。当学生疑惑地提出：“老师，那么有没有粗细的线？”你可以这样回答：“我画一条给你看看。”（见右图）

图中黑白交界的线没有粗细。两条没有粗细的线的交点没有大小。

为了把点、线、面联系起来，有些教师认为“点动成线，线动成面，面动成体”，并由此展开课堂教学。虽然在课堂氛围中，师生对“动”的理解并无歧义，“动”即平移，但写成文章，这种说法十分不妥。比如点动成圆也是“动”，圆绕其一条直径旋转一周也是“动”，但结果是球。

点平移成线，线平移成面。有些教师在教学中是这样诠释“点动成线，线动成面，面动成体”的，见下图。

点A平移成线（段）AB，AB可以平移成长方形面ABCD，长方形面ABCD可以平移成长方体。

是长方体吗？不是！长方体内部是“空”的，而平移出来的这个“长方体”是实心的。

有的教师则简单一点，只想用动的观点来说明长方形与长方体的联系（见下图）。

长方形（垂直）平移一段距离，形成长方体。结果这个“长方体”只有四个面，面ABCD与它的相对的面是没有的。

因此，“面动成体”的说法极不严谨。

类似的错误在各类教科书中也有出现。如“长方形绕其一条边旋转一周得到的图形是圆柱”（见右图）。

这两底面圆心有一连线的几何体是圆柱吗？

正确的应该是“长方形绕其一条对称轴旋转一周得到的图形是圆柱”。

（杭州师范大学教育学院   310000）