地方高校近世代数本硕一体化教材建设研究

谢祥云

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

代数学发展经历了文字叙述阶段、简化文字阶段、符号代数阶段与结构代数四个阶段. 众所周知，1830年左右，在挪威数学家阿贝尔（ABEL N H，1802—1829）工作的基础上，法国数学家伽罗华（GALOIS E，1811—1832）在对代数方程根式解的研究过程中发现了一个代数方程所有根在方程中的对称性，他在刻画这种对称性的变换集合和方程的根与系数构成的数域的扩张之间建立起了某种关联，彻底解决了5次及5次以上方程的根不能用它们的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方运算表达的难题. 伽罗华的工作沉寂了半个多世纪以后，经爱尔兰数学家哈密尔顿（HAMIITON W R，1805—1865）、高斯的学生库默尔（KUMMER E，1810—1893）以及德国数学家诺特（NOETHER A E，1882—1935）为代表的一大批数学家持续推动，代数学发展成现代以群论为基础的抽象代数学，从此步入结构代数阶段. 抽象代数学从发现到现在只有一百多年的历史，故称近世代数学. 我们从这段历史可以看出抽象代数学知识体系的产生从一开始就不是空中楼阁，而是为了解决数学自身问题才发展起来的，但是在这一百多年的发展中，人们发现抽象代数学已经和其他学科的发展密不可分了[1-8]. 一百多年来，伽罗华思想被逐步抽象化、结构化以及多方位延伸，产生了很多抽象代数分支，如环、域、模和代数等. 近世代数学的高度抽象性决定了它不是一门容易学的科目，只能在大学高年级开设. 近世代数学的重要性决定了这门课程在大学数学与应用数学专业（特别是师范类专业）作为必修课开设.

本文在分析我国现阶段近世代数课程教学的基础上，就地方高校近世代数本硕一体化教材建设谈谈一些看法.

1 地方高校近世代数课程的教学现状

根据百度数据，截至 2019年 6月 15日，全国高等学校共计2 956所，其中公办本科院校 817所，民办本科院校 417所. 除军事院校外，根据教育部大的分类，这些本科高校分为教育部直属高校、各部委与地方共建的高校和地方高校. 同为本科高校，高校之间办学水平和办学质量差异很大，这给我们组织近世代数课程教学提出了很大挑战：如何因材施教？如何选择适合自己学生的教材或教学参考书？

要完成好大学高年级专业课教学与研究生基础课教学，需要从当前教师队伍、生源素质、人才培养方案、教材建设等方面综合考虑.

1）教师队伍现状与团队建设. 随着高等教育的快速发展，尽管师资队伍现状和 1990年前已不能同日而语，但是高校代数学教学团队建设在新形势下仍然非常艰巨. 目前，有数学一级博士点高校的代数学教学基本有一个较强的教学团队；有数学一级硕士点的高校基本有二级学科代数学及相关学科博士或硕士学位教师若干；一般本科高校绝大多数都有具有代数学专业硕士研究生学历的教师. 但是，要改变没有从事过近世代数学术训练过程就直接从事近世代数教学的现状需要一个过程，要形成一个代数学教学团队更有诸多困难.

2）生源质量和学生就业. 地方本科高校数学类学生一般高考成绩排位在前10%到前50%，有硕士点的高校在前20%. 在大众教育的今天，地方高校学生数学素养总体在下降，抽象思维能力偏弱.在地方高校，能开设近世代数的本科专业只有数学与应用数学专业且绝大多数在数学与应用数学（师范）专业，这类学生的毕业去向主要是初级中学和教育培训机构. 数学学术型硕士毕业生，15%左右继续攻读博士学位，70%的到中学任教，剩下15%到职业技术学院或其他行业.

3）人才培养方案的设置和教学安排. 一般地方高校数学学院（包括数学与统计学院、大数据学院、数学与计算科学学院、理学院等）均开设数学与应用数学专业、信息与计算科学专业以及和数学相关专业，如统计学专业、数据科学与大数据技术专业、精算学专业、金融学专业等. 在数学与应用数学专业中，离散数学类课程一般开设高等代数、离散数学、近世代数，如果是师范类专业，离散数学和组合数学开设一门居多，都开的不多，另外还开设初等数论. 在新一轮教学改革中，高校的毕业学分要求总体都在下降，同时加大了实践教学的学分比重，一般毕业学分在 155～175之间. 一方面新知识不断出现，加开了很多新的课程，例如人工智能通识课程等；另一方面思想政治课程、德育课程、通识教育课程、体育课程等不能压缩，怎么办？只有压缩专业课程的学时，于是，近世代数由每周4课时减为3课时. 这使得教学计划内的课内教学量与学时不够的矛盾愈来愈突出，对原计划做删减和优化是必然的：大部分高校改为3个学分，48～54学时不等. 值得注意的是，以前高校一个学分是18个学时，每个学时一般50 min，现在很多高校一个学分16学时，每个学时在40～45 min 不等.

4）教材选用情况. 新中国成立后，我国高等教育体系、人才培养方案以及相关教材主要来自原苏联. 1977年恢复高考以后，老一辈代数学家们也出版了一批在中国影响深远的教材，例如丁石孙、张禾瑞、谢邦杰、吴品三等编著的抽象代数教材[7,9-11]. 我们也欣喜地看到 2000年后一批代数学家（如刘绍学、石生明、冯克勤、郭聿琦、丘维声、胡冠章、杨子胥等）编著的近世代数教材[3-6,12-14].同时也有一批外文原版（例如VAN DER WAERDEN B L，HUNGERFORD T W，JACOBSON N，ARTIN M，SERGER L等编著的）代数学教材[1-2,15-18]. 这些教材对我国本科生和研究生代数学教学产生了深远的影响.

中国高等教育从精英化走向大众化以后，学生基本数学素养差异性的加大也导致各个学院教学要求差异明显，这点在地方高校更为突出. 对此，很多学校根据各自特点和学生素质打造出一批各具地方特色的近世代数教材，也有很多学者对近世代数教材建设提出了很多非常好的思路.

笔者上世纪80年代初上大学时近世代数课程使用张禾瑞先生编著的教材[7]（4学分），72学时勉强学完. 1987年后，笔者在地方高校教授近世代数近二十年均是3学分课程，学时48～54不等，再也无法将张禾瑞先生的教材讲完. 数学一级硕士点下的各专业新生第一学期基本都要上三门公共基础课：代数学、实分析和拓扑学，上世纪 80年代代数学使用 JACOBSON[1]编著的《代数学基础（I，II）》居多，后来多使用 HUNGERFORD 编著的《代数学》（冯克勤译）[17]. 现在我们实际教学现状是，新入学硕士生来自不同学校和数学学科下的不同专业，还有跨大类招收的研究生，大部分学生在大学里没有学过拓扑学，实变函数很多学校是选修课，泛函分析很少开设，近世代数课程大部分高校都开设了，基本上使用的是张禾瑞先生的教材，但仍然还有四分之一左右的非数学专业的学生大学没有学过抽象代数，这给我们开设这三门基础课带来了挑战.

2 近世代数本硕一体化教材建设的思考

我们面临的一个重要问题是如何做好大学阶段与研究生阶段知识的衔接. 不可否认，张禾瑞先生编写的《近世代数基础》影响深远，持续了近60年. 这本教材很薄不会“吓着”学生，另一个很重要的特点本书写于1952年，假定读者只有高中基础；1978年的修订版假定读者具有高等代数基础.但实际教学体会是，本书虽薄但教学内容丰富，全部内容没有72学时讲不完. 同时，本书也有两个方面值得探讨：一是为了教材容易懂，写作上用了大量非标准数学语言，表述和现代数学语言差异很大，使得在实际教学中仅选取教材的内容，而不去使用教材语言；二是本书强调了代数的抽象性，没有知识产生的背景，学生在学习时不知道这门学问为什么出现？学了有什么用？受张禾瑞先生编著的《近世代数基础》和刘绍学先生编著的《近世代数基础》这两本教材的影响和启发，结合笔者承担的广东省教育厅关于研究生代数学教材建设的任务，以及地方高校本科与研究生教学的实际，就地方高校近世代数课程本硕一体化教材建设思考如下：

1）地方高校本硕一体化教材的定位与特色. 要打造一本具有地方高校广谱性的教材，我们需要关注地方高校的实情：一是教师队伍，二是本硕生源的状况以及毕业后就业的实际，三是人才培养方案中该门课的学时安排. 基于此，本教材的定位：①教学对象是地方高校数学类（计算机科学类）本科生和硕士研究生；②作为基础教材，教学改革步伐不能太大，教学内容上依然需要强调知识体系的完整性，关注从基础知识到研究生代数学学习的知识过渡；③用有限的教学学时在传统与现实应用之间找到一种平衡，即针对学生未来就业需要讲授近世代数学从何而来，能解决什么样的问题；④在每个章节后面安排一定的拓展阅读材料和必要的评注，以扩大读者视野，激发其学习近世代数学的兴趣；⑤这一本教材能实现研究生阶段没有基础或基础较弱的同学能从第一部分统筹学习，本科生基础比较好的可以直接选学第二部分相关内容.

2）处理好近世代数的抽象性与应用性关系. 这里，笔者引用美国学者比德维尔的一句话来说明学习数学的一种感受，他说：“课堂中，我们学习数学时常常会将自己置身于一座孤岛之中，每天一次去岛上领略数学，深入研究那些纯粹、洁净、逻辑严谨、脉络清晰，毫无杂质的角落. 我们认为数学是封闭的、呆板的、毫无情感的，且一切已经发现好了的. 它完全存在于课本或教师的头脑中，只需去挖掘与吸收”[25]. 毫无疑问对学习代数学的人来说，需要有这样的数学感受，感受数学纯粹的美. 什么是抽象代数学？简单地说就是在给定的集合上定义一些运算，给定每个运算的运算律和各个运算之间的关系，将他们和这个承载集绑定在一起构成系统（我们称之为代数系统），代数学就是基于数学、物理或其他科学理论实际研究各类代数系统的性质、分类. 我们现有的教材中，就有3种不同的处理方式：一是揭示代数结构纯粹的数学关系，追求数学的结构美[1,9-10,13-14,15-17]；二是在讲授抽象代数结构时注意关注这套理论体系在数学学科本身的实际应用，给学生讲授一些代数理论体系的来源和应用[3-5,12]；三是更加关注抽象代数的实际应用，以应用为落脚点编著教材[6].2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中，首次将“对称与群”作为高中数学课程选修系列3、4的专题[26]，所以在规划本教材时，也需适当关注近世代数在中学教学中的应用.

3）教材教学内容的取舍和编写体系. 本教材分两个部分（见附图1），第一部分48学时，3学分；第二部分也是48学时，3学分；第三部分选学，有能力的同学可以自学掌握. 将代数学的基本准备知识分两部分讲授，如集合映射、整数的整除理论、集合的等价关系与划分等容易接受的部分放在第一部分，对集合的直积、直和以及偏序集和Zorn引理这些有一定深度的放在第二部分讲授.

群论和环论均分为两部分讲授，第一部分讲授基本概念；第二部分讲授具体群和环以及专门化的内容. 例如，我们将群在集合上的作用、有限群的构造基础、有限生成的交换群与自由群等均纳入群论第二部分讲授. 环论第二部分和模论基础一起讲授，因为模是环的表示，放在一起讲授有一定的优势. 值得注意的是，将整环上多项式理论或唯一分解理论放在第二部分讲授不是因为这部分内容较难，学生不容易掌握才后推的，而是基于以下两个方面的原因：一是本科阶段的学时，多年的教学经验告诉我们，48学时无法完整讲授环上的多项式理论，与其打断不如整体后移；二是出于近世代数本科教学为师范生到中学教学服务的考虑.

本教材在编写上注意三个背景和应用环节：首先在引入群时避免从代数系统出发，而是从平面变换和运动以及对称开始，希望学生认识到群论不是数学家们杜撰出来的，它来源于实际，可以解决实际问题. 需要说明的是关于对称与群在第一部分没有办法讲授很深，例如如果学生问群是怎么样刻画对称的？圆似乎比正四边形对称，是因为圆的对称群是无限群而正四边形的对称群是八阶群吗？回答这些问题是不容易的（有专著讲授对称）. 其次尺规作图问题和中国剩余定理是本书安排的另外两个近世代数的应用案例. 尺规作图问题可以有两种讲授方式，一是从平方根数、多层平方根数出发，接近伽罗华原始的思想；另一种是从域扩张出发. 本书采用后一种处理方式，在第一部分第四章讲授域扩张，域的代数扩张后给出尺规作图问题讨论，域论的其余部分内容放到本书的第二部分. 第二部分在环与模章节中安排了一节环的根的基本内容，一方面为了讲授中国剩余定理的需要；另一方面也是为了说明交换环的素根定理在格论、序半群、超结构理论中均有应用.

本书第三部分安排了三个方面的选学内容：格论和布尔代数初步；序群与序半群以及超结构理论，这些均和理论计算机有关，仅讲授一些知识点，没有全面展开（也许是笔者更熟悉这些领域，不是它们更重要）. 对于其他教材中很好的应用案例，例如有限域在编码的应用等，由于篇幅和学时的关系，本书就没有再提及了.

3 如何使用该教材

本教材作为数学专业高年级本科生和一年级硕士研究生的基础教材，希望能对这两个层次的学生均有帮助. 这里的第一部分和第二部分不是严格的划分，基础好的本科生可以将两部分的基础知识合并学习，学习了第三章后可以接着学习第七章，再回过头来学习第四章. 也可以将本书第一章、第二章和第十章的第一节作为学习离散数学代数系统部分的参考教材. 对于研究生阶段的同学，如果入学前没有学过近世代数，当然必须从第一章开始系统学习；如果本科学过近世代数课程，可以将第四章作为衔接开始学习，第七章根据情况选择学习.