一个经典Hilbert型积分不等式的推广

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室,浙江 杭州 310053)

0 引 言

20世纪初，德国著名数学家Hilbert提出著名的Hilbert不等式[1]。时间已逾百年，世界各地的数学工作者对Hilbert不等式进行了深入且广泛的研究，取得了大量的离散型[2-5]以及积分型[6-9]的新成果。这些新成果往往形式美观，技巧多变，构造精巧，应用广泛，在分析学相关领域起着非常重要的作用。

对Hilbert型不等式的研究，一般可分为齐次和非齐次两种形态；还可研究核函数的参数化、离散化、半离散化以及不等式的高维推广、系数加强。在大量的已有文献中，研究者们往往侧重于核函数的系数和指数推广，而很少去改变核函数的结构。本文从一个新的角度构造一个多参数的积分核函数，并借助实分析的相关技巧，特别是余切函数的部分分式展开，建立一个新的Hilbert型不等式，推广相关经典的结果。

1 定义及引理

定义1设s>0，第二型欧拉积分定义如下：

也称Γ函数[10]。特别地，当s∈N+时，Γ(s)=(s-1)!。

引理1设λ,γ>0，(2n+1)γ>β>0，n∈N，定义

(1)

且有

(2)

则

(3)

证明

(4)

其中

(5)

(6)

同理可得

(7)

把式(6)和式(7)代入式(5)，得

(8)

令t=u-1，类似可得

(9)

结合式(4)、式(8)以及式(9)，并利用式(2)，即得式(3)成立。引理1得证。

引理2设a,b>0,m∈N+,则

(10)

证明根据cotx的部分分式展开(参见文献[10]第397页)：

(11)

式(11)两边关于x求2m-1阶导数，可得

(12)

由此便得式(10)成立，引理2得证。

2 主要结果

若f,g≥0，f,g∈L2(+)，通常有经典的Hilbert型不等式[1]：

(13)

以及

(14)

式中，π2是满足式(13)和式(14)的最佳常数因子。式(13)及式(14)的类比及推广可参见文献[11-13]，在此构造新的积分核函数，将它们推广如下：

(15)

式中，C(γ,λ,β,n)是满足式(15)的最佳常数因子。

证明根据Hölder不等式，可得

(16)

根据引理1可知，β1+β2=2(n+1)γ，不难算得

(17)

类似可得

(18)

容易验证，在β1+β2=2(n+1)γ这一条件下，C(γ,λ,β1,n)=C(γ,λ,β2,n)。因此把式(17)和式(18)代入式(16)，便有

(19)

假使式(19)中等号成立，那么一定有不全为零的实数A与B，满足

Axp(1-β1)fp(x)=C几乎处处在+成立，

及

Byq(1-β2)gq(y)=C几乎处处在+成立。

下面证明式(15)的常数因子为最佳值。若此常数因子不为最佳值，则定有实数0

(20)

(21)

令ε→0+，并结合式(3)，可得

(22)

(23)

式中，C(γ,λ,β,n)是满足式(23)的最佳常数因子。

在定理1中，令λ=2m-1，m∈N+，n=0，利用引理2，注意到

则有

(24)

在定理1中，令λ=2m-1，m∈N+,n=1，利用引理2，则有

(25)

3 结束语

本文通过构造一个新的积分核函数，探究相应的Hilbert型二重积分不等式，推广了一些经典的结果。在最佳常数因子的处理方式上，借助余切函数的部分分式展开这一实分析的方法，解决了最佳系数用级数表达过于复杂的问题，具有一定的创新价值，对其他一些类似的Hilbert型积分不等式的研究具有一定的借鉴意义。