全状态受限的高超声速飞行器的预定性能滤波反步控制

2020-12-01李亚苹王芳周超

航空学报 2020年11期

李亚苹，王芳,*，周超

1. 燕山大学理学院, 秦皇岛 066004 2. 河北农业大学海洋学院, 秦皇岛 066003

高超声速飞行器的机身发动机一体化结构、复杂的飞行环境导致高超声速飞行器的动力学模型具有不确定、强耦合、快时变等特点[1-3]，因而给控制器的设计带来了挑战。基于文献[4-5]提出的高超声速飞行器纵向模型，反步控制、滑模控制、自适应控制等方法被用于控制器的设计中[6-8]。

反步控制是重要的非线性控制方法之一，具有控制器设计过程系统化和结构化的特点。文献[9]考虑了外界干扰和执行器饱和对高超声速飞行器的影响，设计了自适应反步控制策略，实现了高超声速飞行器的稳定跟踪控制。文献[10]针对输入约束和气动不确定综合影响下的高超声速飞行器的控制问题，基于改进的面向控制模型，提出了自适应反步控制器。文献[11]结合反步控制和智能控制方法，设计了高超声速飞行器的智能控制策略。文献[12]结合反步控制和滑模控制，实现了气动不确定影响下的高超声速飞行器的稳定跟踪控制。文献[13]通过扩展状态观测器处理高超声速飞行器的不确定和外界干扰，并设计了反步控制策略。文献[14]通过干扰观测器处理不确定，在此基础上设计了反步控制策略。此外，文献[15] 结合状态观测器和Ty-2(T2)模糊控制，设计了鲁棒自适应控制器，实现了高超声速飞行器的稳定跟踪控制。滑模控制具有响应速度快、参数变化和扰动不敏感和物理实现简单等优点。文献[16]针对高超声速再入飞行器姿态跟踪问题，提出了自适应滑模控制策略。虽然滑模控制可以处理不确定，但是不确定必须满足匹配条件。为了解决这一问题，文献[17-19]利用干扰观测器估计高超声速飞行器的不确定，并结合滑模控制设计了鲁棒控制策略，实现了高超声速飞行器在外界干扰和不确定影响下的稳定跟踪控制。

虽然上述研究都实现了高超声速飞行器的稳定跟踪控制，但并未考虑控制系统的暂态性能问题。文献[20]针对带有输入非线性的高超声速飞行器的跟踪控制问题，基于反步控制方法设计了预定性能控制策略，实现控制系统稳态性能的同时也满足了暂态性能的要求。文献[21]为了实现高超声速飞行器的所有状态满足约束要求，将其转化为实现状态误差信号在预定的边界内问题，并设计了预定性能反步控制器。文献[22]考虑未知控制方向的高超声速飞行器的预定性能控制问题，基于神经网络设计了预定性能控制器。文献[23]针对具有未知初始误差的高超声速飞行器姿态控制问题，基于误差变换函数设计自适应反步控制策略。文献[24]基于性能函数提出了模糊反步控制策略。上述研究[21-24]考虑暂态性能时，需要先设计非线性映射函数进行误差转化，然后针对转换后的系统设计控制器。

基于上述分析，本文针对气动参数不确定和状态约束下高超声速飞行器的跟踪控制问题，设计基于固定时间干扰观测器的预定性能滤波反步控制策略。主要有以下几点创新：

1) 本文采用具有固定时间收敛性的干扰观测器处理由气动参数不确定和弹性导致的综合不确定，估计误差固定时间内收敛到零，且收敛时间与初始状态无关仅依赖于设计参数。

3) 为避免反步控制中由于对虚拟控制输入求导而导致的 “计算爆炸”问题，本文设计新型的一阶滤波器，估计误差可以收敛到零。

4) 通过对比仿真可以得到所设计的控制策略，可以实现速度和高度的稳定跟踪，且所有状态始终保持在约束范围内。

1 高超声速飞行器模型

高超声速飞行器纵向动力学模型为

(1)

其中

飞行器刚体状态和弹性之间的耦合通过气动力实现。此外，弹性机身、推进系统和动力学之间的强耦合等因素导致模型具有强耦合、非线性等特性。又因为弹性模态是不可测的，所以控制器设计过程中，可以将其作为刚体模型的扰动，它的影响将在仿真时考虑[2]。仿真时，将针对模型(1)进行仿真验证。基于以上分析，以及受参考文献[25-28]的启发，建立控制模型：

(2)

其中各函数的表达式为

(3)

(4)

(5)

(6)

本文的控制目标为考虑气动参数不确定ΔCL、ΔCD、ΔCM、ΔCT,φ、ΔCT、ΔCNi、ΔL、ΔD、ΔMyy、ΔT、ΔNi以及全状态约束|x|≤ωx,x=V,h,γ,α,Q的影响(这里ωx要满足飞行器的状态可行域的要求，具体可参考文献[28])，基于反步控制、障碍Lyapunov函数和干扰观测器，设计控制输入燃油当量比φ和升降舵偏角δe，保证速度V和高度h跟踪其参考指令Vd和hc的同时，状态满足约束要求。

注1本文与文献[29]虽然都是在反步控制框架下，进行跟踪控制研究，但两者之间的不同之处体现在如下3个方面：

1) 文献[29]针对外界干扰和输出误差约束影响下的无人机跟踪控制问题;而本文则是考虑气动参数不确定和所有状态约束影响下的高超声速飞行器的稳定跟踪控制问题。

2) 文献[29]通过具有有界收敛性的干扰观测器估计对外界干扰;而本文采用具有固定时间收敛性的干扰观测器估计由气动参数不确定和弹性模态导致的综合不确定，且估计误差收敛到零。

3) 文献[29]采用传统的一阶滤波器解决传统反步控制的“计算爆炸”问题;本文设计了新型的一阶滤波器解决这个问题，滤波估计误差收敛到零，且由仿真对比可得本文设计的一阶滤波器比传统的一阶滤波器具有更好的估计性能。

2 预备知识

为方便后续的控制器设计，引入如下引理及定义。

|ζ|→1,ϑ(ζ)→∞,

(7)

式中:β1、β2为K∞类函数。

由上述定义，可取性能函数为：ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞。

3 控制器设计

本节结合干扰观测器和障碍Lyapunov函数设计反步控制器, 保证速度和高度稳定跟踪其参考指令的同时状态满足约束要求。

3.1 固定时间干扰观测器

为处理系统(2)中的不确定ΔfV、Δfγ、Δfα、ΔfQ，引入如下的固定时间干扰观测器[30]

(8)

状态误差定义为：z0x=x-w0x，λ>0为待设计参数。

假设1综合不确定Δfx,x=V,α,γ,Q，满足|Δfx|≤ϑ，ϑ为未知的正常数。

定义z1x=Δfx-w1x为估计误差，则

(9)

若假设1成立，且k1x、k2x满足

(10)

则(b0x,b1x)在固定时间T0收敛到零。T0由k1x、k2x和ϑ决定，与初始状态无关，且时间T0内有x=w0x,Δfx=w1x。

3.2 速度控制器设计

本节基于式(2)的第1个动态方程，即速度子系统进行控制器设计。采用3.1节的固定时间干扰观测器估计综合不确定，在此基础上，设计控制输入φ保证速度跟踪其参考指令且跟踪误差不超过预设边界。

定义速度跟踪误差为

zV=V-Vd

(11)

式中：Vd为速度参考指令。

对zV求导可得

(12)

设计如下障碍Lyapunov函数

(13)

对Y1求导可得

(14)

式(14)的ΔfV通过固定时间干扰观测器估计

式中：d0V=V-w0V,d1V=ΔfV-w1V。

设计如下控制输入φ

(15)

式中：w1V为ΔfV的估计值。

将式(12)代入式(11)可得

(16)

3.3 高度控制器设计

本节针对式(2)中的其他4个动态方程，即高度子系统进行控制器设计。采用固定时间干扰观测器估计系统中的综合不确定, 并基于反步控制设计控制器。为避免由于对虚拟控制输入反复求导而导致的 “计算爆炸” 问题设计新型的一阶滤波器。

注2传统反步控制中，由于虚拟控制输入的反复求导引起的“计算爆炸”问题，使得控制器的计算复杂度随着系统阶数的增大而增加。本文在进行高度子系统的控制器设计时，因为高度子系统是4阶的，攻角和俯仰角速率是作为虚拟控制输入的状态，在进行下一步虚拟控制输入设计时，需要用到它们的导数信息，而高超声速飞行器模型中的非线性和不确定导致很难获得它们的导数，且可能需要大量的计算量，从而导致“计算爆炸”问题。为了解决这个问题，本文设计了新型的一阶滤波器估计虚拟控制输入的导数。

控制器的具体设计过程如下：

步骤1设计控制输入γc

高度跟踪误差为

zh=h-hc

(17)

式中:hc为高度参考指令。

对zh求导可得

(18)

为保证飞行过程中跟踪误差zh始终保持在预先设定的范围，设计如下障碍 Lyapunov 函数

(19)

对Y2求导可得

(20)

结合式(18)和式(20), 设计虚拟控制输入γc为

(21)

式中：k2>0为待设计参数。

将式(21)代入式(20)可得

(22)

步骤2设计虚拟控制输入αc

航迹角跟踪误差为zγ=γ-γd，对zγ求导可得

(23)

为保证在飞行过程中跟踪误差zγ始终保持在预先设定的范围内，引入障碍Lyapunov函数

(24)

对Y3求导可得

(25)

Δfγ通过如下固定时间干扰观测器估计

式中：d0γ=γ-w0γ;d1γ=Δfγ-w1γ。

虚拟控制输入αc设计为

(26)

将式(26)代入式(25)，则

(27)

为避免由于对虚拟控制输入反复求导而导致的 “计算爆炸”问题，设计如下一阶滤波器

(28)

式中：τ1,l1α,l2α>0为待设计参数，滤波误差为yα=αd-αc。

步骤3设计虚拟控制输入Qc

攻角跟踪误差为zα=α-αd，对zα求导可得

(29)

为保证在飞行过程中跟踪误差zα始终保持在预先设定的范围，设计如下障碍Lyapunov函数

(30)

对Y4求导可得

式中的Δfα通过如下固定时间干扰观测器估计

式中：d0α=α-w0α，d1α=Δfα-w1α。

设计虚拟控制输入Qc为

(31)

为避免对虚拟控制输入反复求导而导致的 “计算爆炸”问题，设计新型滤波器

(32)

式中:τ2,l1Q,l2Q>0为待设计参数，滤波器误差为yQ=Qd-Qc。

步骤4设计控制输入δe

俯仰角速率跟踪误差为zQ=Q-Qd，对zQ求导可得

(33)

为保证在飞行过程中跟踪误差zQ始终保持在预先设定的范围，设计如下障碍Lyapunov函数

(34)

对Y5求导可得

(35)

式(35)的ΔfQ由如下固定时间干扰观测器估计

式中：d0α=α-w0α，d1α=Δfα-w1α。

设计控制输入δe为

(36)

4 稳定性分析

闭环系统的稳定性可归纳为如下定理。

定理1考虑系统(2)，在假设1成立的条件下，设计控制器(15)、(21)、(26)、(31)、(36)以及自适应律(28)、(32)，则系统各个状态有界且满足预先设定的约束条件。

证明因为非线性系统设计时观测器与控制器不再满足分离定理，所以本文在进行稳定性分析时，受文献[31]启发，将稳定性分析按照时间分为2个阶段进行：第1阶段，当t

1) 当t

2) 当t≥T0时，观测器估计误差收敛到零，即Δfx=w1x，选取如下Lyapunov函数

(37)

对式(37)求导，可得

由一阶滤波器(28)和(32)，可得

(38)

将式(38)代入式(37)可得

可表示为

(39)

式中:

由式(39)可得

(40)

进一步可得

(41)

通过以上分析，定理得证。

注3本文与文献[14-15，19，23-24，28]相比，不同之处如下：

1) 文献[14-15，19]采用估计误差有界的干扰观测器估计外部干扰。文献[28]通过自适应估计高度子系统中的综合不确定上界。本文采用固定时间干扰观测器处理综合不确定，可以实现估计误差在固定时间内收敛到零，且收敛时间与初始状态无关，仅依赖于设计参数。

2) 文献[23-24]考虑了输出误差约束影响下的高超声速飞行器的跟踪控制问题，在控制器设计前需要进行误差转换。本文考虑气动参数不确定和全状态约束影响下的高超声速飞行器的跟踪控制问题，采用了可以解决时变约束的障碍函数解决全状态约束问题，并基于此进行了控制器设计，无需进行误差转换，降低了控制器设计的复杂度。

3) 文献[24，28]分别采用传统一阶滤波器和将虚拟控制导数作为综合不确定的一部分，解决了传统反步控制的 “计算爆炸”问题。本文设计了新型的一阶滤波器估计虚拟控制的导数，且滤波误差可以收敛到零，通过对比仿真可知设计的新型一阶滤波器比传统的一阶滤波器具有更好的估计性能。

4) 文献[28]考虑了气动参数不确定影响下的高超声速飞行器的跟踪控制问题，没有考虑状态约束的影响。本文同时考虑气动参数不确定和状态约束问题，所设计的控制器在实现速度和高度稳定跟踪的同时，状态约束在预先设定的范围内。

5 仿真分析

本节通过仿真分析来说明所提出控制策略的有效性。仿真时参数的不确定性为+20%，燃油量选取为50%；通过滤波对参考指令进行光滑处理时，频率与阻尼分别选取为0.03 rad/s和0.95。飞行器初始飞行状态如表1所示，仿真中对各个状态的约束范围为：7 810 ft/s

情形1考虑气动参数不确定及状态约束。

情形2仅考虑系统存在气动参数不确定，通过与情形1进行对比分析，说明所设计控制策略的可行性。

上述两种情形的控制器参数如表2所示。

注4由干扰观测器(8)～(10)以及仿真验证的过程可知，适当增大观测器增益k1x或减小观测器增益k2x和ϑ可以加快估计速度即缩短收敛时间。由稳定性分析式 (41) 可知，增大μ即增大k1、k2、k3、k4、k5、τ1和τ2可以提高跟踪误差的精度，但过大的增益可能会导致控制输入饱和问题，所以需要综合考虑跟踪精度和控制输入幅值，适当地选取这些参数，使得控制精度相对较

表1 状态初始值Table 1 Initial trim conditions

表2 控制器参数Table 2 Controller parameters

速度和高度的跟踪效果如图1和图2所示。由图1可知，情形1跟踪效果相对较好，速度跟踪误差zV最大为2 ft/s且在1.5 s跟踪上参考指令；而情形2速度跟踪误差最大为18 ft/s，在40 s跟踪上参考指令。由图2可知，高度跟踪误差始终保持在预定性能范围内；情形2高度跟踪误差zh最大为65 ft且高度在50 s跟踪上参考指令。在前100 s内，情形2中，速度和高度跟踪误差超出性能函数边界。图3～图5分别为航迹角、攻角和俯仰角跟踪曲线图。可以看出机动过程中航迹角、攻角和俯仰角变化波动较小，且波动时间比较短。情形1中状态误差曲线始终保持在性能函数曲线范围内。而情形2状态误差曲线在开始时超出性能函数边界。控制输入曲线如图6所示，两种情形相比较不考虑状态约束的控制输入曲线较平滑。由以上分析可知，两种情形下的状态变化比较平缓，且收敛速度较快。情形1可以保证误差始终保持在预先设定的范围内，即保证状态满足约束条件。由上述分析可知，高超声速飞行器各状态满足预先设定的要求。