基于平均扩展速率的裂纹扩展模型

2020-12-01兑红娜刘小冬王凡董江

航空学报 2020年11期

兑红娜，刘小冬，王凡，董江

中航工业成都飞机设计研究所强度部，成都 610091

为了有效地开展外场飞机的单机寿命监控和结构健康管理，准确的疲劳寿命预测模型是必需的。大量试验和研究表明，基于线弹性断裂力学(LEFM)的经典裂纹扩展模型无法对随机载荷谱下(需考虑载荷顺序效应)复杂金属结构的裂纹扩展进行准确描述[1-2]。这类LEFM模型通常基于标准试件常幅谱疲劳试验获取材料参数，不能反映真实结构几何构型和表面处理等因素，并且很难准确模拟变幅谱载引起的载荷迟滞/加速效应。因此，在实际工程应用中，为了提高模型对真实结构疲劳寿命的预测精度，通常需要用真实或类似结构模拟件疲劳试验对经典LEFM模型进行参数标定或修正，然而，实践表明，很难找到通用的标定或修正方法对所有类型的载荷谱均有效[3]。

对于可产生稳定裂纹扩展速率的随机载荷谱，如包含重复“飞-续-飞”载荷谱块，基于平均扩展速率的裂纹扩展模型(下文统称为平均扩展速率模型)为随机谱下疲劳寿命评估提供了另一种有效途径[4-6]，该类模型将随机谱块当作“当量常幅谱”处理，通过形式简单的经验公式来描述单位飞行小时(FH)的平均裂纹扩展，用da/dt表示。这与经典LEFM模型计算每个载荷循环(da/dN)的裂纹扩展是不同的。

平均扩展速率模型虽然形式简单，但是可以对经典LEFM模型无法准确描述的随机谱下裂纹扩展趋势进行较为准确的预测。与经典LEFM模型不同的是，对于没有进行疲劳试验的随机载荷谱，如外场飞机单机使用载荷谱，平均扩展速率模型无法直接使用，需要采用扩展速率类比法则(下文统称为速率类比法则)，借助于经典LEFM模型，对未试验载荷谱下的平均扩展速率模型参数进行合理预测。

本文对平均扩展速率模型和速率类比法则展开详细研究，首先介绍基于Frost&Dugdale公式和基于Paris公式的平均扩展速率模型的内涵及参数推导方法，然后通过典型机身框关键部位模拟件在多种随机谱下的疲劳试验数据对平均扩展速率模型和速率类比法则的可行性和准确性进行深入的试验验证，最终给出建议和结论。

1 平均扩展速率模型及速率类比法则

1.1 平均扩展速率模型

平均扩展速率模型通常基于Frost&Dugdale公式[7]和Paris公式[8]，模型中仅有2个特征参数，反映了所有复杂的载荷顺序效应及其他影响，如残余应力、表面处理等影响。

基于Frost&Dugdale公式的平均扩展速率模型(下文统称为Frost&Dugdale平均扩展速率模型)，认为裂纹扩展速率与裂纹尺寸和应力有关，见式(1)，该模型常用于飞机结构概率耐久性分析，对较短裂纹段的拟合效果较好。

(1)

基于Paris公式的平均扩展速率模型(下文统称为Paris平均扩展速率模型)，认为裂纹扩展速率与裂纹尺寸和应力强度因子有关，见式(2)，该模型没有解析式，只能采用数值积分法求解。相比Frost&Dugdale公式，该模型不限于较短裂纹段，可模拟更为复杂的裂纹扩展情况。

(2)

式中：β为几何修正因子，是裂纹尺寸的函数β(a)，无量纲，与裂纹形状、结构几何构型和边界条件有关；C和m为Paris模型参数;Kref为参考应力强度因子。

模型参数值需通过结构模拟件/部件/全机疲劳试验来确定(推导方法详见第2节)，其中，结构模拟件应尽量模拟真实结构部位的材料、构型、应力梯度、表面处理、加工工艺等。

1.2 速率类比法则

对于未进行疲劳试验的随机载荷谱，如外场飞机单机使用载荷谱，无法直接使用平均扩展速率模型进行寿命预测，因为模型参数是未知的。这点与经典LEFM模型不同。

因此，为了对未试验载荷谱下平均扩展速率模型参数进行合理预测，提出了速率类比法则，认为不同载荷谱下真实扩展速率比值与理论扩展速率比值近似相等:

(3)

式中：下标1表示试验载荷谱；下标2表示未试验载荷谱(如单机使用载荷谱)；下标e表示基于疲劳试验数据推导的速率，下标p表示基于由经典LEFM模型获取的理论扩展数据推导的速率。

大量研究表明，虽然经典LEFM模型无法对随机谱下复杂裂纹扩展进行准确描述，但是对于不同谱载下裂纹扩展的相对严重程度有较可靠的预测，这是速率类比法则成立的前提。

将Frost&Dugdale平均扩展速率模型代入速率类比法则，有：

(4)

显然，当模型参数满足式(5)时式(4)必然成立。

(5)

将Paris平均扩展速率模型代入速率类比法则，有：

(6)

显然，当模型参数满足式(7)时式(6)必然成立。

(7)

对于外场飞机，基于试验谱下平均扩展速率模型参数，采用上述速率类比法则，结合经典LEFM模型，可对单机使用载荷谱下平均扩展速率模型参数进行预测。然后，以当量初始裂纹尺寸(EIFS)作为初始裂纹(推导方法详见第2节)，采用数值积分算法，可对外场飞机关键结构在任意裂纹长度下的裂纹扩展寿命进行预测。

2 平均扩展速率模型参数推导

对于Frost&Dugdale平均扩展速率模型，由于有解析式a=a0exp(Qt)，其中a0为初始裂纹尺寸，可根据关注裂纹段(如较短裂纹段)的扩展数据(a,t)，采用最小二乘法直接推导出参数Q和a0。

对于Paris平均扩展速率模型，由于没有解析式，推导过程比较复杂。下面从疲劳试验数据处理、模型参数拟合、当量初始裂纹尺寸(EIFS)计算等几个方面，对Paris模型参数的推导步骤展开说明。

2.1 疲劳试验数据处理

结构疲劳试验通常采用断口反推方法获取可靠的裂纹扩展数据(a,t)，为了拟合Paris模型参数，需进一步获取速率数据(da/dt,Kref)。

为了获取较为稳定的速率值，da/dt建议按式(8)进行计算，假设小范围的裂纹扩展满足指数关系，如图1所示，斜率dln(a)/dt由计算点(ai)和前/后点(ai-1/ai+1)采用最小二乘法获取。前/后点的选取应满足与计算点的时间间隔不小于1个谱块。

(8)

图1 da/dt计算方法示意Fig.1 Calculation method of da/dt

计算点(ai)的应力强度因子(Kref)i按式(9)进行计算，其中几何修正因子β(a)与裂纹形状、结构几何构型和边界条件有关，σref通常选取最大载荷状态下的应力。

(9)

2.2 模型参数拟合

基于速率数据(da/dt,Kref)，采用最小二乘法对Paris模型参数C和m进行拟合，如式(10)。普通最小二乘法中每个样本点的权重相同，而对于裂纹扩展寿命中低速率阶段占比大的情况，加权最小二乘法更为合适，可加大低速率阶段的样本权重。

(10)

2.3 当量初始裂纹尺寸计算

当量初始裂纹尺寸(EIFS)指结构细节在使用前(t=0)的假想初始裂纹尺寸(并非真实尺寸)，需要通过裂纹扩展模型和一定裂纹尺寸点(ai,ti)来反推计算。显然，EIFS的大小与裂纹扩展模型和裂纹尺寸点的选取有直接关系，因此后续寿命预测所用的模型必须与EIFS推导所用的模型保持一致。如果反推的EIFS受载荷谱和应力水平的影响较大，不具通用性，则说明裂纹扩展模型选取得不合理。

反推所用的裂纹尺寸点可选取断口分析的试验数据初始点，也可选取一定裂纹长度点，如经济修理尺寸或临界裂纹尺寸，亦可选取所有或者关注段的试验数据点，通过最小二乘法推导使均方误差最小的EIFS。若裂纹扩展随时间近似满足指数关系，则不同尺寸点选取方法对EIFS的影响不大；若不满足，则影响较大。

3 平均扩展速率模型对比

本节选取典型机身框关键部位模拟试验件(如图2所示)3种随机载荷谱各3个应力水平下的疲劳试验数据，对Frost&Dugdale和Paris平均扩展速率模型进行对比分析和试验验证。

随机谱以500FH的飞续飞起落为一个谱块，每组试验经断口反推的裂纹扩展数据如图3所示。

图2 模拟试验件Fig.2 Representative coupon

图3 模拟件疲劳试验数据Fig.3 Representative coupon fatigue test data

对于Frost&Dugdale平均扩展速率模型，根据每组载荷谱下试验数据获得试验中值曲线，然后采用最小二乘法，对较短裂纹段(<2 mm)进行拟合，推导参数Q和a0，列于表1。

对于Paris平均扩展速率模型，采用第2节所述方法推导模型参数和每组试验的EIFS，列于表1。其中，EIFS指每组试验的样本均值，“汇总”指汇总每种载荷谱序列所有应力水平下速率数据样本进行参数拟合，如图4中实线所示。

每组载荷谱的速率数据(da/dt,Kref)如图4所示，散点表示试验数据样本，实线表示Paris平均扩展速率模型对试验数据的拟合，表中纵坐标单位的sfh表示simulated flight hour。可见：

1) 在双对数坐标系下，da/dt与Kref呈明显的线性关系，说明Paris模型成立。

2) 相同载荷谱序列不同应力水平下速率数据趋势基本一致，图中仅用一条直线来拟合，说明Paris模型参数与应力水平近似无关，与载荷谱序列强相关。

3) 对于谱型相似的载荷谱序列，Paris模型参数m(图中直线斜率)近似相等，差异主要在于参数C。

采用表1 中2种平均扩展速率模型参数，分别对每组载荷谱下裂纹扩展寿命进行预测，并与试验中值寿命进行对比。以载荷谱1为例，对比结果如图5所示，空心圆点表示各载荷谱下的试验中值，实心圆点表示Paris模型对整个裂纹段的预测值，实线表示Frost&Dugdale模型对较短裂纹段(<2 mm)的预测值。

综合表1和图5，可知：

1) Frost&Dugdale和Paris平均扩展速率模型均具有较高的寿命拟合精度，但Frost&Dugdale模型需分开拟合短裂纹段和长裂纹段(模型参数是不同的)，而Paris模型用一组参数就能较好地拟合整个裂纹扩展趋势。

表1 平均扩展速率模型参数对比Table 1 Comparison of average growth rate model parameters

图4 试验速率数据(da/dt-Kref)Fig.4 Test growth rate data (da/dt-Kref)

图5 预测均值寿命与试验中值寿命对比Fig.5 Comparison of predicted mean life and test mean life

2) Paris平均扩展速率模型反推的EIFS受载荷谱和应力水平影响较小，具有通用性和兼容性，而Frost&Dugdale模型推导的a0受载荷谱和应力水平的影响较大，甚至相差1个量级。

3) Frost&Dugdale平均扩展速率模型参数Q与应力水平虽然在理论上存在幂函数关系，Q=λ(σref)α，但是实际上该关系可能并不成立，例如，根据表1中的参数值，仅载荷谱3下的幂函数关系近似成立，载荷谱1和载荷谱2均不成立。如果幂函数关系不成立，则无法根据试验谱下的模拟件参数来推导真实结构的模型参数(应力水平是不同的)。即使幂函数关系成立，至少需要试验谱3种应力水平下的试验数据，才能推导出较为准确的参数λ和α，试验成本较高。

4) Paris平均扩展速率模型参数C和m与载荷谱序列强相关，与应力水平近似无关；对于谱型相似的载荷谱序列，参数m近似相等。因此可将基于模拟件试验数据获取的参数直接用于真实结构，并且，理论上仅需一种应力水平下的试验数据，可节约试验成本。

5) 综上，推荐使用Paris平均扩展速率模型。

4 速率类比法则试验验证

基于第3节所述典型机身框关键部位模拟件的疲劳试验数据，以及优选出的Paris平均扩展速率模型，本节对速率类比法则的合理准确性进行试验验证，步骤如下：

1) 选取任意2组载荷谱，分别作为式(3)中的谱1(试验谱)和谱2(未试验谱)。

2) 基于谱1下试验数据，采用第2节所述步骤，推导谱1平均扩展速率试验参数，C1,e和m1,e，列于表1(已在第3节中求解)。

3) 基于经典LEFM模型，获取谱1和谱2下理论扩展寿命数据，然后采用第2节所述步骤，分别推导谱1和谱2平均扩展速率理论参数，C1,p和m1,p以及C2,p和m2,p。

4) 根据步骤2)和步骤3)的参数值，采用速率类比法则(式(7))，可估算谱2平均扩展速率试验参数，C2,e和m2,e。

5) 根据步骤4)的参数值，以谱1下EIFS作为初始尺寸(见表1，假设谱2下EIFS是未知的)，采用数值积分法，可对谱2下的裂纹扩展寿命进行预测。

6) 将谱2下的寿命预测值与试验值进行对比，以验证速率类比法则的预测精度，此处以耐久性寿命和寿命间隔作为对比基准。

在本例中，步骤3)选取4种经典LEFM模型，分别为：Nasgro公式[9]、Nasgro公式+改进Willenborg模型[9]、Walker公式+Closure模型[10]、Austen模型[11]，分别用LEFM1～LEFM4模型表示。具体公式详见相关文献，本文不再赘述。

选取32种载荷对比组合，采用步骤2)～步骤6)，每组载荷谱的寿命预测值与试验中值列于表2，其中，符号“/”前后分别表示耐久性寿命和寿命间隔，前者指由EIFS扩展至经济维修尺寸(这里取0.8 mm)，后者指由可检裂纹尺寸(这里取1.27 mm)扩展至临界裂纹尺寸。

在32种载荷对比组合中，一类是相同应力水平不同载荷谱序列，如:S2_from_S3_at_332.02表示在σref=332.02 MPa时由载荷谱3试验数据预测载荷谱2扩展寿命；另一类是相同载荷谱序列不同应力水平，如:S3_at_332.02_from_349.5表示对于载荷谱3由σref=349.5 MPa的试验数据预测σref=332.02 MPa的扩展寿命。

对比分析表2中数据，可知：

表2 基于平均扩展速率模型的裂纹扩展寿命预测值Table 2 Crack predicted life with average growth rate model

1) 对于相同应力水平不同载荷谱的对比组合(序号1～14)，若2种载荷谱的EIFS均值相差较大，则耐久性寿命的预测精度稍差些，如序号7～10。由于寿命间隔与EIFS无关，因此寿命间隔的预测精度比耐久性寿命高。

2) 对于相同载荷谱不同应力水平的对比组合(序号15～32)，由于直接采用已知载荷谱的模型参数(无需速率类比)，因此预测精度不仅与2种载荷谱的EIFS均值差异有关，还与模型参数C的差异有关。

3) 在这4种理论模型中，速率类比公式采用LEFM3模型的寿命预测精度最高，预测值与试验中值的比值在0.76～1.36，大部分位于0.9～1.1。可见，速率类比法则的准确度与经典LEFM模型的选取有关。

绘制基于速率类比法则(采用LEFM3模型)的寿命预测值与试验中值的相关图，如图6所示，图中虚线表示y=1.5x和y=x/1.5。进一步采用统计检验方法，发现：寿命预测值与试验中值的比值服从正态分布，概率密度函数如图7所示，均值mean≈1，标准差std<0.17，验证了速率类比法则具有较高的预测精度。