加强学习资源设计，提升数学学习水平

汪小莲 易良斌

摘要：依据课标和主题的学习目标，按照学生的认知规律循序渐进地设计学习资源，通过知识的理解与建构、方法剖析与提炼、能力训练与拓展、综合应用与创新四个学习环节的学习资源设计，满足学生的个性化和选择性学习需求，让学生经历深度学习过程，实现举一反三稳基础、触类旁通明方法、以一当十强技能和知行合一富素养的数学学习目标。

关键词：学习资源;专题学习;方程与不等式

教师在设计学习资源时要遵循学生的认知规律和数学体系构建顺序，合理设置学习进程，确保课程目标的整体实现;同时，依据数学概念、原理、公式、法则等知识要素的不同特点，分解学习目标，解析学习目标达成的具体表现，设计丰富的“重关联、重发现、重创新、重化归”的学习活动，全面落实“四基”。在实际教学过程中，教师还应避免因“赶进度、加难度”而造成学生数学学习困难和学习负担加重现象的发生。

易良斌老师在《中学数学研究与引领》一书中提出了“五例—四解—七环”的学习创新设计，为数学专题学习设计提供了可行的路径。本文以“方程与不等式”专题为例，借鉴“五例—四解—七环”阐述学习设计的基本方法。

一、学习目标定位

（一）知识技能

1.会从定义上判断方程（组）的类型，并能研究分式方程的增根情况。

2.掌握解方程（組）的解法，理解配方法解一元二次方程，掌握解方程组的实质是“消元降次”“化分式方程为整式方程”。

3.掌握不等式的性质，掌握数字系数一元一次不等式（组）的解法，理解在数轴上表示解集，会求特殊解集。

4.掌握列方程（组）、列不等式（组）解决社会关注的热点问题。

（二）数学思考

学会独立思考，体会数学建模、转化思想。通过对方程不等式相关问题的研究，培养学生的语言组织能力及分析问题、解决问题的能力。

（三）问题解决

1.初步学会用数学的眼光发现问题、解决问题，经历从不同的角度寻求分析问题的方法的过程。

2.积累分析问题和解决问题的一些经验，体验解决同一数学问题的多种方法，发展创新意识。

3.在与他人合作和交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

（四）情感态度

1.通过积极参与数学活动，激发对数学的好奇心和求知欲。

2.在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

3.在解决数学问题的过程中，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

二、学习内容分析

（一）专题知识结构（由学生根据课本学习线索画出思维导图、结构框图）

（二）高频考点分析

通多对全国近五年中考试题的分析，我们发现本专题的主要考点有方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的应用;二元一次方程组的解法，二元一次方程组的应用;一元二次方程的解法，一元二次方程的应用;解分式方程，分式方程的增根，分式方程的应用;不等式的性质，解一元一次不等式（组），不等式（组）的特殊解，不等式（组）的应用。中考中对方程（组）与不等式（组）的考查基本以客观题形式呈现，解答题中偶尔有解方程（组）、不等式组或应用题出现，要求相对比较低。

（三）学习重点、难点

学习重点为培养解方程（组）或不等式（组）的能力，综合运用以上能力解决实际问题。

学习难点是运用方程思想与不等式（组）找到解决综合问题的突破口。

三、学习资源设计

（一）知识的理解与建构：举一反三稳基础

1.例题引导

以下例题旨在把方程（组）、不等式（组）的考点用习题的形式进行罗列，属于基础题，要求每一个学生都能掌握。

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程。

分析：此题的考点是一元一次方程的解法，正确掌握解方程的步骤是解题关键。此题的整个解题流程给了大家解一元一次方程程序的范例，利用等式的基本性质去分母时，要乘遍每一项，不能漏乘。而得出方程的解后，要有检验的良好习惯，此题得出的解其实也是一个反例。

分析：此题的考点是一元二次方程的解法，正确掌握解一元二次方程的一般方法是解题关键。此题可以用因式分解法、公式法、配方法等多条途径解决，是一题多法的范例，题干也给了大家一元二次方程感官上的正例。

正确的解答过程如下：（篇幅所限，详细解答过程略）

分析：此题的考点是不等式组的解法，正确掌握解一元一次不等式组的一般方法是解题的关键。此题首先分别解出两个不等式的解集，然后用法则（同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小题无解）或数轴（数形结合思想）两条途径解决，是数形结合解不等式组的范例，题干也给了大家一元一次不等式组概念感官上的正例。

例4.（2017广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书，若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本;若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本。求男生、女生志愿者各有多少人？

分析：此题的考点是二元一次方程组的应用，设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意，找到等量关系得出关于x、y的二元一次方程组，这是解决本题的关键。此题给了大家列方程（组）、不等式（组）解应用题的范例，也给了大家解二元一次方程组的正例，在解决问题的过程中，建议大家先独立完成，然后进行合作交流、共同研讨，寻找解决此题过程中具有等量关系的反例和正例，寻找是否有解决此题的特例、是否有解二元一次方程组的错例。

2.学习建议

对于一个数学定义、原理、事实、公式、法则、定理、问题等，我们常常可以从范例、正例、特例、反例、错例五个不同的视角去举例，这样能够让我们系统地去理解、完整地去把握、规范地去应用这些知识。

（二）方法剖析与提炼：触类旁通明方法

1.例题引导

解析：本题的关键是先求出每个不等式的解集，然后根据法则或数轴求出两个解集的公共部分，即此不等式组的解集，最后根据要求，利用数的大小比较方法求出正确答案。

解法：利用不等式的基本性质、解不等式组的基本步骤，采用法则或数轴解决数学问题。

解释：此题的考点是求不等式组的特殊解，在考试大纲中的要求是掌握和应用。从近五年杭州中考来看，杭州对于不等式组的要求相对较低，属于较容易的类型，尤其是出现在解答题中是比较少的。此种类型的题目易错点一个在于不等式两边同时乘以一个负数时，不等号需要改变方向，还有一个在于求最大负整数解时负数大小比较的漏洞，建议利用数轴辅助求最大负整数解，正确率会提高不少。

解析：解决本题的关键是理解这个新概念，将陌生的运算符号转换为熟悉的运算符号，第一小题根据新定义列出关于x的方程，解之可得;第二小题根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得。

解法：多种方法解一元二次方程，解一元一次不等式，实数的运算。

解释：此题的考点是一元二次方程的解法、一元一次不等式的解法，这两个考点都不难，关键在于学生的阅读能力和理解问题、解决问题的能力，建议平时注重数学知识的生长力，培养对新问题的转换能力，达到碰到新问题可以化归和关联。

（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由。

解析：此題的考点是代数式的大小比较，给了大家一条代数式大小比较的路径，可以根据特例得到经验，从特殊到一般得到结论，通过完全平方公式得到论证，最终得出正确答案。

解法：求代数式的值，有理数大小比较，完全平方公式，配方法等。

解释：此题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键，经历代数式比较大小的一般路径，体验从一般到特殊、再从特殊到一般的数学解题策略。

例8.（2020扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足 3x-y=5 ①，2x+3y=7 ②，求  x-4y和7x+5y的值。

解答本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案。常规思路运算量比较大。其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 x-4y=-2，由①+②×2  可得7x+5y=19。这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。

解决问题：

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+ by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算。已知  3*5=15，4*7=28  ，那么1*1=  _______。

即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值;（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中的“整体思想”，即可求解;（3）根据x*y=ax+by+c，可得3*5=3a+5b+c=15，4*7=4a+7b+c=28，1*1=a+b+c，根据“整体思想”，即可求得a+b+c的值。

解法：解方程组的方法有消元法、整体法;利用方程组解应用题的基本方法，理解新定义。

解释：不少学生依然会利用解方程组的基本方法——消元法来解决此题。从解本题的背后，我们发现利用“整体思想”解二元一次方程组的魅力所在。数感和直观能力对孩子们解决问题至关重要。仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当的变形，整体求得代数式的值，引入新运算，根据新定义、结合“整体观”求代数式的值。

2.学习建议

对于数学问题的理解，我们建议可以分为四个阶段，即解答、解析、解法、解释。解答就是我们想方设法把答案弄出来，是解析的基础;解析就是将解答的步骤划分成若干个独立的、均有明确目的的阶段，然后将每个阶段最优化，是解法的立脚点;解法是解析的拓展，一题多法，将数学题目读厚，达到做一道题、练一类题、解决一框知识点的目的，是解释的积累过程;解释是最神秘的阶段，当我们掌握了很多解法以后，去整合它们，万法归一，将题读薄。不同的人悟道的方式大不相同，但最后都能找到相同之处。

（三）能力训练和拓展：以一当十强技能

1.基础演练

精心编写配套练习题，从全国近几年的中考试题、自主招生试题、竞赛试题中精选5～8个题目，其中选择、填空3～5题，解答2～3题。题组后面附上参考答案和解题提示。（限于篇幅，选题及解析略）

2.学习建议

建议在完成这些问题的时候，关注用“五例”学习法去理解这些数学问题，用“四解”训练法去分析这些问题。如果不能独自解决这些问题，可以参考课本导航，进一步思考;也可以和同伴合作，进行智慧的碰撞;也可以通过这些问题的解决写下一些数学日记，积累更多的数学解题经验，那样你会更优秀。

（四）综合应用与创新：知行合一富素养

1.问题提出

问题：已知关于x的一元二次方程

2.七环引领

第一环：分析问题，寻找联系。

（1）由于k为此方程的一个实数根，故把k代入原方程，即可得到关于k的一元二次方程。①把k=m代入关于k的方程，即可求出m的值;②由于k为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k，便可得到关于y与m的关系式。

（2）先求出根的判别式，再根据m的取值范围讨论△的取值即可。

第二环：尝试建模，探究问题。

根据第一环的分析，（1）根据方程根的定义建立“代入法”解题模型和根据题意建立相关函数模型;（2）一元二次方程根的情况和根的判别式△的取值的相关模型。

第三环：求解问题，策略解决。

根据一环的分析和二环的探究，可以得出如下解题方案（解题过程略）。

第四环：检验结果，反思问题。

对该问题的解决结果进行反思，考虑是否有其他途径或是否可以另辟蹊径。例如，针对第二小题：

∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，

∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点。

∴ 当

解法三：和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化。

第五环：交流评价，提升价值。

反思众多解决问题的途径和模型，通过和同伴对各种方法进行评价，进一步完善解题思路，寻找最佳的方法，记住：符合自己的，就是最好的方法。

第六环：引申推广，类比迁移。

解决问题后，我们思考这个问题是否可以进行推广，建立模型，增强辐射能力。

模型1：一元二次方程根的情况和根的判别式△的取值有关的基本模型。

模型2：二次函数图象和一元二次方程根的情况的数形结合模型。

模型3：用函数模型考虑根的判别式△符号，进而判断一元二次方程根的情况的结合模型。

第七环：拓展应用，创新问题。

将此问题进一步拓展，创新问题。例如，将原题中的条件“一元二次”去掉，拓展为如下情况：

已知关于x的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）

（1）请取两个特殊的m的值代入，得到两个不同类型的方程，并求这两个方程的解。

（2）若y=（m-2）x2-（m-1）x，请证明无论m取任意实数，函数图象都经过两个定点。

3.学习建议

这个板块建议学有余力的学生尝试解决。对于综合数学问题的解决，我们可以尝试“七环”探究法，将数学问题紧密联系生活问题。我们按照“分析问题，寻找联系—尝试建模，探究问题—求解问题，策略解决—检验结果，反思问题—交流评价，提升价值—引申推广，类比迁移—拓展应用，创新问题”七个环节，探索出一条良好的解决路径。“七环”探究法的应用，可以让我们在解决问题时经常有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊叹。

四、学习设计反思

（一）进一步认清学习设计的教学意义

学生学习的最终目的并不是掌握已有的知识，而是为了进入社会实践、参与社会实践。因此，在学习中，学生就要以明辨是非、独立思考的方式，把人类已有的实践成果转化为自身将来参与社会实践的能量。学生学习的过程不仅仅是学习知识，甚至学习知识本身都是手段，目的在于使学生能够作为主体参与社会实践，了解并认同知识背后所蕴含的价值。在这一过程中，学生需要全身心投入，深刻地去理解、领会、评判、体验、感受“活”的、“动”起来的知识，理解知识最初发现时人们面对的问题、解决问题的思路、采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值。只有经历这样的过程，知识才可能通过学生的主动操作活化为学生的精神力量，转化为学生认识世界的方式，学习的过程才能成为学生成长发展的过程。

（二）进一步认清学习内容的逻辑关系

学习内容并不能直接转化为学生的精神力量，必先转化为学生能够进行思维操作和加工的教学材料，成为学生的学习对象。也就是说，学习材料所蕴含的不只是通常所说的知识，也有知识背后的情境、情感、情绪、价值观、思想过程、思维方式等。而学习内容只是学生深度操作、加工教学材料之后获得、体会、掌握了的东西而已。因此，从学习内容到学习材料的转化就是教师的核心工作，教师对于知识背后所蕴含的价值的认识水平就成为这一工作的关键。

（三）进一步认清学习引导的教学价值

教师的教学意识与能力水平，决定着学生能否发生深度的学习。教师与学生的深度学习是相互成就的。所谓“学然后知不足，教然后知困”，没有好的学习设计，不可能有学生的深度学习;同样，在不断引发学生深度学习的过程中，教师也得到持续的发展。这样的学习设计，才能真正促进学生成长，也使教师成为成就自己、实现自己存在价值的教师。

（本文为浙江省易良斌名师工作室2020特色研究项目“2020初中数学思想方法与解题策略选讲”的主要成果之一）

参考文献：

[1]曾护荣.教学中有效渗透数学思想的探索 [J].中学教学参考，2018（09）.

[2] 易良斌.中学数学教与学：研究与引领[M].北京：光明日报出版社，2015.

[3] 康杰黃，炜刘洁.基础中见变化 情境中看发展：2019年中考概况与复习建议 [J] .中国数学教育，2020（1-2）.

[4] 郭华.深度学习及其意义 [J].课程.教材.教法，2016（09）.

（责任编辑：吴延甲）