运用U型模式培育数学建模素养*——以“用样本的数字特征估计总体的数字特征”的教学为例

何苗苗

(广东省广州市南海中学，510000)

深度教学的理论认为，学生的学习是个U型过程，这个U型过程需要教师来引导和激发.如图1，这个“U型教学模式”是在教学中经历下沉、潜行、上浮三个环节，还原知识产生的背景，经历学科思想方法的探究过程，生成促进学生精神发育的意义系统，才能达成培养学生学科核心素养的目标[1].

本文以人教版“用样本的数字特征估计总体的数字特征”一课为例，探讨运用U型教学模式培养学生数学建模与数据分析的核心素养的途径.

一、下沉环节(知识的还原与探究)

这个环节是沉浸式学习，即还原知识背景，进入知识探究.

教学案例1前面已经学习了用频率分布直方图估计总体分布，如何用样本估计总体的数字特征(众数、中位数和平均数)呢？

创设情境：小李毕业后去某公司应聘，公司招聘员告诉他“公司报酬不错，23名员工平均月收入3 000元，最高月收入有22 000元”.

公司员工甲说：“我们好几个人的工资是2 000元.”

员工乙说：“我的工资是2 200元，算中等收入.”

如果小李的理想月收入为3 000元，请问这所公司是小李的理想选择吗？说明理由？

学生的认知活动总是遵循从具体到抽象再到具体的顺序，螺旋式上升.在本环节中，从学生熟悉的生活情境出发，选择学生身边感兴趣的数学问题，把学生引入与所学内容有关的情境中，从中感悟到数学的乐趣，使学生积极、主动、有效地参与到学习中去.一是通过生活应聘情境，结合生动的PPT，引起学生的兴趣，培养学生的数学思维，激发学习兴趣；二是引导学生从表象到本质进行推理.这样众数、中位数和平均数三种数字特征自然地从情境中提炼出来.

教师回顾知识板书：

(1)众数：不唯一.

(2)中位数：①排序；②取中间：若奇数个，取中间一个；若偶数个，取中间两个的平均数.

通过情境分析，对情境进行回应，思考小李是否选择去这所公司？

教学案例2从上面给出的生活情境中挖掘数学信息：“平均月收入3 000元”——平均数，反映总体的平均水平.

“我们好几个人的工资是2 000元”——众数，反映总体的多数情况.

“我的工资是2 200，算中等收入”——中位数，反映总体的一般水平.

反问：用众数、中位数和平均数反映样本特征时有什么优缺点？

经过调查，事实上如下是该公司员工及月工资构成，如下表：

人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资(元)22 0002 5002 2002 0001 00029 700人数16510123合计22 00015 00011 00020 0001 00069 000

在上表中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？

教师：表达反映的众数是多少？

学生：2 000元.

教师：中位数是多少？

学生：2 200元.

教师：平均数呢？

学生：3 000元.

教师：如果小李的理想月收入为3 000元，请问这所公司是小李的理想选择吗？

学生：不是，因为大部分员工都没超过3 000元，只有经理一个超过3 000.

二、潜行环节(运用数学思想掌握新知)

这个环节是层进式学习，即分析与综合、感知与体悟、比较与鉴别、论证与推理、实验与探究、理解与评价.

教学案例3如何用频率分布直方图估计样本的众数、中位数和平均数？

探究：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成，如图2所示的频率分布直方图.估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均数.

先由学生来探讨这三个数，根据三种数字特征的定义进行估算，众数在60～70之间，中位数在60～70之间，平均数却不知道.

教师：为什么众数的范围在60～70之间，那究竟是多少呢？

学生A：因为众数是出现最多的数，而直方图中60～70之间这段的矩形最高，我猜是中间的数65.

教师：对！但为什么取中间数呢？这是因为画频率直方图的折线图时，是连接每个矩形上端的中点形成的折线，这时最高矩形的中点是最高的.

(小结板书)众数：最高矩形下端中点的横坐标.

教师：先看看每个矩形的面积.

学生：第一个是0.4,第二个是0.4,第三个是0.15，第四个是0.1,第五个是0.05.

教师：那中位数为什么在60～70之间.

学生B：第一个矩形的面积是0.3,最后三个矩形是0.3,所以中位数只能在60～70之间.

教师：初中学习中位数是排序后最中间的数，那中位数应该是在60～70之间的哪个数呢？

学生B：应该落在60～70之间的中间.是65.

教师：对！但怎么算呢？中位数是处在直方图的中间，其实就是中位数两边的矩形面积和相等.

学生B：矩形的面积和是1，那中位数应该位于刚好面积和为0.5的位置.

教师板书：∵0.3<0.5,0.3+0.4=0.7>0.5,∴中位数落在[60,70).设中位数为x,则(x-60)×0.04=0.5-0.3.∴x=65.

(小结板书)中位数：在左右直方图面积相等处.

教师：最后来看看如何由频率分布直方图估计样本的平均数.因为我们并不知道每个组的具体数值，所以可分别设为n1,n2,n3,n4,n5个，总数n个，每个小矩形的x有很多个数，取一个代表值.

学生：取矩形下端中间的数为代表.

教师板书：平均数

教师：n1,n2,n3,n4,n5,n都不知道，那怎么办？如何用已知数据去取代这些字母，n1比n,是什么？

学生：是频率.

教师：对！这样平均数

=55×0.3+65×0.4+75×0.15

+85×0.1+95×0.05=67.

评注本环节通过对生活实例的思考，形成解决问题的思维能力，掌握科学的学习方法，让学生通过由感性认识到理性认识的过程，体验由感性理解到理性飞跃的认知过程.反问图中得出的数字特征是否与实际计算的数字特征相符合，让学生体会思考用样本估计总体存在的差异性，为以后的回归分析埋下伏笔.体验回归思想也是统计学中很重要的思想方法.

三、上浮环节(应用知识解决问题、知识的迁移)

这个环节是反思性学习，即表达与反思，迁移与应用.

教学案例4为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图如图3.此工厂接到一份订单700件，急需10天内(含10天)出单.请问此工厂能否按时出单？尝试用本节课内容说明理由.若不能，你能帮忙想想对策吗？

评注深度教学强调对知识意义的理解，需要对知识所承载的思维方式、学科思想及所表达的情感、态度加以理解和内化. 本环节从已学知识入手，让学生通过分析频率分布直方图的表象信息，深入思考，理解统计思想与方法，根据生活实际问题想出对策.

U型模式有助于学生经历完整的学习过程，学生可以在实验和科学思维培养中，形成尊重事实和证据的科学态度.在本节课中，引入学生非常熟悉的生活情境，激发学生的学习兴趣，带动学生对情境问题进行思考，让学生体会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界的学习过程，实现知识的下沉.在探究环节中，体现了教师的引领性，让学生学会分析数据，从感性理解去估算出这三种数字特征，引导学生如何由感性到理性估计众数、中位数和平均数这一过程，在教学中，实现知识的潜行.利用开放性统计分析题和课堂小结，注重数学模型的建构，实现知识的上浮.通过“下沉—潜行—上浮”三个环节的教学，让学生理性领会由频率分布直方图估计数字特征的统计思想，从而全面有效地提升学生的数据分析和数学建模核心素养.