赏析一道高考数学文化试题

覃 淋 杨 琴 喻晓婷

(四川省巴中职业技术学院教育学院,636600)

2018年颁布的《普通高中数学课程标准》(2017年版)从课程性质、基本理念、课程目标、实施建议等方面对数学文化作了进一步的要求:强调要将数学文化融入到数学教学活动中.通过在教学中渗透数学文化,让学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术和人类社会发展中所起的重要作用,引导学生认识和感悟数学的文化价值,树立文化自信、提升人文素养以及数学核心素养[1].

近年来,全国各地高考数学试卷中都有基于数学文化命制的试题,主要体现在数学史、数学精神和数学应用三个方面[2].

本文从命题背景、解法等角度对2019年全国卷III第21题(文理科)进行赏析,并对其特点进行分析,为以后命题者编制出更加新颖的试题提供启发.

一、试题呈现

(1) 证明:直线AB过定点;

二、试题背景

此题是以阿基米德的《方法论》(The Method of Archimedes)和《抛物线图形求积方法》中的相关内容为背景,进行改编和重构的.考查直线与抛物线的位置关系、函数最值、弦中点以及三角形面积公式等知识,同时考查数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养和学生分析和解决问题的能力.属于中档题.

实际上,考察历年的高考数学试题,可以发现《方法论》中的“抛物弓形面积”是一个命题热点,几乎每年都有以此为背景的考题.且从题型上来看,均为解答题.在教材上也有与此类似的题目,人教A版选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”的复习参考题B组第3题:如图1,已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值.

《方法论》实际上是阿基米德的一封信,在上个世纪初被发现,后以《方法论》为篇名公开发表.1906年,海贝格(J.L.Heiberg,1854-1928)在土耳其君士坦丁堡(今伊斯坦布尔)发现一块羊皮纸,上面存有字迹,经过仔细辨认,发现竟然是阿基米德的著作.其中包括《论球与圆柱》、《圆的度量》以及《平面图形的平衡或其重心》和《论浮体》的一部分,还有就是现今被称为《阿基米德方法》的内容.经考证这是阿基米德写给数学家埃拉托塞尼(Eratosthenes,公元前276-前194)的信,这一发现是数学史料的重大发现.

《方法论》中共有15个命题,包括阿基米德计算面积和体积的一些方法、技巧等.更为重要的是,这里面的结果大都给出了比较严格的证明.这些方法的主要特点是将要计算的未知量(图形的面积或体积)先进行分割,再与已知图形(这个已知图形面积必须是比较容易计算的)对应进行比较.利用杠杆原理,使它们在杠杆上保持平衡.这实质上是积分法的基本思想.阿基米德还在序言:“这些定理将来必须用几何方法加以证明,因为以上方法不算真正意义上的证明.”

阿基米德在《抛物线图形求积方法》中还明确给出了抛物弓形面积结果的几何证明.其证明思想是利用欧多克斯的穷竭法,即通过在弓形内部作一系列的多边形去逼近弓形,使得弓形的面积与内接多边形的面积之差小于任一给定值,最后用归谬法证明.

三、试题解法

学习者在问题解决的过程中,都会以已有的知识经验为基础,每一不同形式的数学表征依赖于个体记忆中已有的不同的知识经验和知识结构.由此可能引出不同的问题解决策略,从而导致不同解法的产生[5]. 从不同角度来思考同一问题, 可以培养学生思维的灵活性和问题解决策略的多样性.

(1)证明

通过以上分析,可以发现命题者在将数学文化融入高考数学试题的过程中,改变了以往单纯的知识性考查.这样可以让学生了解到数学富于人文性的一面,数学并不是枯燥无聊的.同时,教师和学生都应明白,数学文化很重要,并不是因为高考要考查才显得重要.从学生学习数学的角度,数学文化可以让学生形成正确的数学观念,有助于学生理解数学的本质.教师在课堂上应将数学知识中所蕴含的数学文化在无形之中渗透到教学过程中.

同时,数学文化作为数学科学的有机组成部分,高考试题在渗透数学文化时,更应注意与相关数学知识的有机结合,注重体现数学理性思维的内涵.可以通过创设新的问题情境、选取合适的数学文化内容等多种方式渗透数学文化.