核心素养视野下数学模型的构建

陈华忠

摘要：在小学数学教学中，教师应从不同角度去引导学生，加强数学建模思想的渗透，让学生经历数学模型构建的过程，感受数学模型的作用，培养学生借助模型去分析并解决实际问题的能力，在教学中引领学生经历 “感知模型—建构模型—应用模型—拓展模型”的过程，同时也感受数学的内在魅力。

关键词：分析比较;抽象概括;猜想验证;探究交流;解决问题;数学模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”而数学模型不仅为数学表达与交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，还可以帮助学生准确理解数学存在的意义。为此，教学时，教师应从不同角度去引导学生，加强数学建模思想的渗透，让学生经历数学模型构建的过程，感受数学模型的作用，培养学生借助模型去分析并解决实际问题的能力，在教学中引领学生经历 “感知模型—建构模型—应用模型—拓展模型”的过程，同时也感受数学的内在魅力。

一、在分析比较中构建数学模型

分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。比较是对有关的数学知识或数学材料进行分析，辨别它们的共同点与不同点。学生在日常生活中已经积累了一定的比较与分类的知识，教师要善于利用学生这种已有的认识基础，把生活中的分析、比较、分类迁移到数学教学中，并利用分析、比较构建数学模型。

二、在抽象概括中构建数学模型

抽象与概括是数学能力的核心要素之一，是形成概念、得出规律的关键性手段，因而也是建立数学模型最为重要的方法。抽象是从许多数学事实或数学现象中，舍去个别的、非本质的属性，而抽出共同的、本质的属性。概括则是描述抽象出来的事物间的共同特征，它以抽象为基础，是抽象过程的进一步发展。课标注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程。对于教材中一些空间图形的概念，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等模型的建立，教师可以先提供一些具体的几何图形的实物，引导学生先进行观察分析，再进行抽象概括，从而构建出数学模型。

例如，在教学“体积的认识”一课时，对于体积的概念，课本上是这样定义的：“物体所占空间的大小，叫作物体的体积。”而“空间”一词比较抽象，教学时，教师可利用课件出示学生熟悉的故事——《乌鸦喝水》，将新知寓于故事情境之中，让学生从演示中发现石头占了瓶子的空间，从而使水面上升，初步理解“空间”这一概念。为了让学生深入地建立“体积”这一概念，教师可让学生把书包从课屉里拿出，用手摸一摸桌屉内部，然后将书包放入课屉之后，再用手摸一摸桌屉内部。通过这样的亲自感受与体验，学生对“体积”概念有了深刻的理解，从而以抽象概括方式构建体积模型。

三、在猜想验证中构建数学模型

在数学课堂教学中，教师要鼓励学生大胆猜想与验证。在验证过程中，学生会发现新的问题，并在解决新问题的过程中完善自己的猜想，发现其特征与规律。教学流程为“提出猜想—进行验证—自我反思—建立模型”。这不仅是学生主动学习的过程，更是学生发现与创新的过程。

例如，在教学“圆柱的认识”一课时，其主要任务是让学生理解并抽象出“圓柱的侧面积=底面周长×高”这个公式。对于公式推导过程，学生不易理解。学生理解公式的关键在于理解圆柱的侧面展开图中的长方形的长、宽跟圆柱之间的关系，即“圆柱的高=展开后长方形的宽，圆柱的底面周长=展开后长方形的长”。教学时，教师可以放手让学生主动探究、进行验证，发现侧面展开图中长方形的长等于底面圆的周长，展开后的长方形的宽等于圆柱的高，从而得出了“圆柱的侧面积=底面周长×高”的计算公式。

数学建模不仅训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养落到实处，让学生感受到“在生活中学数学，在实践中学数学”，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，促进学生思维的发展。

四、在探究交流中构建数学模型

数学家华罗庚说：“对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。”动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，因此，在教学时，我们要善于引导学生进行自主探索、合作交流，对发现的问题能主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。例如，在教学“烙饼问题”时，可以分成三大步骤进行建构。第一，自主探索：“烙2张饼至少需要多少时间？”学生在辨析中很容易明白：2张同时烙，需要6分钟，初步体验烙饼优化思想。“如何尽快烙好3张饼？”这是本课的关键，也是难点。在探究3张饼的最优烙法时，让学生借助学具动手操作，直观演示，结合课件演示两种烙法，让学生发现：充分利用锅内的空间，使得每次锅里同时烙2张饼，这样最节省时间。学生在直观中思考，在自主探究中发现，从而感悟运筹思想的真谛。第二，引导学生进行小组讨论并思考双数张饼、单数张饼的最优烙法（见表1、表2）。

然后组织学生观察数据、寻找规律，在反馈交流时提炼出最优方法：总时间=饼数×烙一面饼的时间。这样不仅让学生领悟到数学方法的精巧和数学思维的美妙，而且让学生在具体的问题情境中自主探究，逐步发现“烙饼问题的最优烙法”这一探究过程就是一次构建数学模型的过程。

学生在主动探究中经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程，在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程，从而建构出人人都能理解的数学模型。

五、在解决问题中构建数学模型

从具体的问题中逐渐抽象、提炼、构建出相应的数学模型，这不是学生认识的终结，而是构建数学模型的延续。在建立模型后，教师还要把数学模型还原为具体的数学情境问题，使已经构建的数学模型得以拓展与提升。例如，在教学 “三位数乘两位数” 一课时，教师可利用学生在三年级就知道的“单价×数量 = 总价”这一基本模型，解决两道例题：（1）篮球每个80元，买3个多少钱？（2）鱼每千克10元，买4千克需要多少钱？这两个问题有什么共同点？在教学中，我们应如何建立学生的模型思想呢？首先，呈现例题后，引导学生认真观察与思考，并说一说题中描述的情境，让学生知道这两道题是关于总价的实际问题，并明确这两道题都是已知每件商品的价钱，我们把它叫作单价;对于买了多少，我们叫作数量;求一共需要多少钱，我们把它叫作总价。建立了这些概念后，让学生再读题，找一找题中的数学信息，明确第（1）题告诉我们篮球单价是80元，数量是3个，也就是求3个80元是多少。第（2）题鱼的单价是10元，买了4千克，也就是求4个10元是多少。因此，这两题都用乘法计算，通过计算后明确单价、数量与总价之间的关系是：单价×数量=总价，从而建立模型，并通过巩固应用加深对模型的理解。这一模型思想建立后，会对后续的学习起到推波助澜的作用。在这一单元后面还有“速度×时间=路程”这一模型的建立;在第六单元“除数是两位数的除法”中，则是利用第四单元的乘法模型的变式“总价÷数量=单价，总价÷单价=数量，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间”来解决问题的。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李静.经历建模过程 感悟模型思想[J].小学数学教育，2016（6）.

（责任编辑：韩晓洁）