研究转化与化归思想在高考数学解题中的应用

孙宁

随着新高考制度的实施，高考数学试题的综合性越来越强，与学生的生活联系也更加紧密，学生在解答试题时要能抓住试题考查的本质，把试题中隐含的数学条件转化为熟悉的数学知识和数学方法，进而降低解决试题的难度.转化与化归思想是数学学习中最基本的思想方法，在高考数学解题过程中具有重要的应用，可有效解决高考数学试题，在平时的教学中教师要通过相关的练习，让学生在审题、试题分析中领会转化与化归思想的应用.在高考数学试题的解决过程中，常用的转化与化归方法有换元转化法、数与形转化法、等价转化法、补集转化法等，运用这些方法可达到化难为易、化繁为简的目的.

一、使陌生问题转化为熟悉问题

在每年的高考数学试中，很多试题的题干对于学生来说是很陌生的，如果无法把陌生的问题转化为学生熟悉的问题，则会无从下手.合理的转化与化归方法可以帮助学生把陌生的問题转化为熟悉的问题，把没见过的问题转化为在平时的练习中遇到过的问题，让学生在熟悉的环境中解决数学问题.如2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第21题：已知点A（-2，0），B（-2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为-12，记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.本题中的陌生问题是曲线不是恒等变形的，熟悉的问题的曲线方程的求解，在解题过程中需要把恒等的变形通过添加条件转化为不恒等的变形.答案：曲线C的方程为x24+y22=1（|x|≠2），或者x24+y22=1（y≠0），所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，且不含左右顶点.

二、使抽象问题转化为具体问题

抽象性是高中数学知识典型的特点，特别是在新高考制度改革后，抽象性的试题比例增加，学生在解答此类问题时需要把试题情境中给出的抽象条件转化为具体的、形象的数学条件，使已知条件之间的关系明朗化，多用于抽象函数问题的解决，是转化与化归思想和数形结合思想融合的体现.如2019年高考数学试卷理科新课标Ⅰ第5题：函数f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的图像大致为（  ）.

本题考查的是函数奇偶性的判断，直接使用奇偶性函数的性质只能排出A项，另外三项需要使用特殊值法把抽象的问题转化为具体的问题，本题中的特殊值可取fπ2，判断本题选D.

三、使未知问题转化为已知问题

转化与化归思想在高中数学解题过程中的重要应用方式，是把试题中包含的不知道的知识和方法转化为学生已经知道的知识和方法，即可使未知问题转化为已知问题，这也是问题解决的实质.高考数学试卷中的试题中设置的问题很多看似与已知条件关联不大，但深入探究便可发现，我们可以把已知条件一步步进行转化，逐渐与所设问题联系起来，探究的过程是环环相扣的，后续的问题解决需要运用已知条件推导出的相关条件，进而把未知问题转化为已知问题.如2019年浙江高考数学试卷第20题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3，数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式;（2）记Cn=an2bn，n∈N*，证明C1+C2+…+Cn<2n，n∈N*.本题主要考查数列通项公式的求解，第一小题可根据{an}的首项和公差求出{an}的通项公式，然后结合已知条件可确定{bn}的通项公式;第二小题的解答则需要根据第一小题的结果进行放缩，然后再对不等式进行转化，即可对题中的不等式进行证明.

总之，学生在解答高考数学试题中遇到难题是必然的，教师能做的便是在平时的练习中训练学生的心态，任何问题都有其解决办法，我们只要把试题中涉及的问题不断转化，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将未知的问题转化为已知的问题，降低试题的难度，就能顺利解答问题.