巧妙分类 破解困局——以含参高考导数题的分析求解为例

刘安美 沈茵芝

(江苏省扬州大学数学科学学院,225002) (江苏省昆山市柏庐高级中学,215300)

含参导数题常涉及分类讨论思想的综合运用,能体现数学思维的深度.在实际应用时,学生易出现对分类对象和标准不明确、对问题的本质理解不到位,对压轴题难度有畏惧心理,主观意识上放弃进一步思考等现象.本文介绍分类讨论“三步曲”:选择分类对象—探索分类诱因—确定分类标准,找准切入点,合理讨论参数取值范围,化繁为简.通过含参高考导数题的分析，讨论函数单调性、零点、恒成立等问题,破解导数应用困局.

一、按导函数零点大小分类讨论

例1已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)单调性.

解f′(x)=2e2x-aex-a2

=(2ex+a)(ex-a).

若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)单调增.

若a>0,则f′(x)有唯一零点x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)单调减;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调增.

评注由本题可见,求函数f(x)的单调性一般可按如下步骤进行:

求定义域→求导数f′(x)→求f′(x)=0在

定义域内的根→

用求得的根

划分区间→确定f′(x)在各个

开区间内的符号→得相应开区

间上的单调性

二、按导函数的类型分类讨论

当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调增.

当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,则其判别式Δ=4(2a+1).

三、按函数最值大小分类讨论

例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

解f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在R上单调减,f(x)至多有一个零点,不合题意.

若a=1,由f(-lna)=0,知f(x)有唯一零点,不合题意.

若a∈(1,+∞),则易见f(-lna)>0,f(x)没有零点,不合题意.

综上,a的取值范围为(0,1).

四、按含参绝对值分类讨论

例4已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0)，若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a)，证明：当x∈[-1,1]时，恒有f(x)≤g(a)+4.

解当00,f(x)在(a,1)单调减.所以，g(a)=f(a)=a3.

若a≥1，则x≤a,f(x)=x3-3x+3a，f′(x)=3x2-3<0,f(x)在(-1,1)单调减，所以g(a)=f(1)=-2+3a.

令h(x)=f(x)-g(a).当00,h(x)在(a,1)单调增，h(x)在[a,1]上的最大值为h(1)≤4,故f(x)≤g(a)+4.

若x∈[-1,a]，则h(x)=x3-3x+3a-a3,h′(x)=3x2-3<0,h(x)在(-1,a)单调减，h(x)在[-1,a]的最大值为h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,则t′(a)=3-3a2>0,t(a)在(0,1)单调增，有t(a)

当a≥1时，h(x)=x3-3x+2,h′(x)=3x2-3≤0，h(x)在[-1,1]单调减，h(x)≤h(-1)=4,故f(x)≤g(a)+4.

综上，当x∈[-1,1]时，恒有f(x)≤g(a)+4.

本文通过含参导数题几种常见类型，介绍了分类讨论的三步曲，分类标准并不是孤立的.参数问题形式多样,解题时不一定局限于一种方法,只有抓住隐藏在题目的哪些信息,就能找到分类讨论的切入点,使问题获解.