高阶卷积型积分微分方程的重心有理插值配点法

王宗奇, 韩惠丽, 张 红

(宁夏大学 数学统计学院, 银川 750021)

0 引 言

积分微分方程在流体力学、 振动理论、 经济学、 生物模型、 时空发展模型和流行病模型等领域应用广泛[1-3]. 积分微分方程的解析解一般很难得到, 因此, 关于积分微分方程数值解法的研究备受关注, 目前已取得了许多成果, 如Sinc配置法[4]、 改进的Bessel配置法[5]、 Shannon小波方法[6]、 小波Galerkin方法[7]、 幂级数展开法[8]和多小波遗传算法[9]等. 此外, 卷积型积分微分方程的初值问题在结构的黏弹性响应、 传染病模型、 生物力学、 系统控制和图像处理等领域得到广泛关注[10-12]. 但研究该类方程数值解的文献报道较少: 文献[13]研究了积分微分方程组的重心有理差分格式, 并给出了卷积型积分微分方程的稳定性； 文献[14]用分段常数正交函数的运算矩阵求解了Volterra积分和卷积型积分微分方程, 该方法对方程的阶数没有更高的要求, 但应用于误差估计的正交函数不易选取, 而且针对多个节点会导致矩阵的奇异性, 使整个方法不收敛； 文献[15]用Taylor公式法求解了卷积型线性Volterra积分微分方程； 文献[16]将卷积型积分微分方程转换为普通微分方程, 不但增加了计算的复杂度, 而且该方法不适用于高阶卷积型积分微分方程. 上述方法在实际应用中存在计算量较复杂的问题. 本文选择具有基函数构造简单、 计算量小、 数值计算稳定性好、 精度高等优点的重心有理插值配点法, 给出高阶卷积型积分微分方程的数值格式及其收敛性定理, 并通过数值算例验证方法的有效性.

考虑如下高阶卷积型积分微分方程:

1 线性重心有理插值

插值法主要包括Lagrange插值[18]、 分段线性插值、 样条插值和有理函数插值等. 由于插值节点无法自由选取, 因此导致Lagrange插值数值极不稳定, 使其精度较低, 出现振荡, Runge函数说明了这种缺陷. 为避免该缺陷, Floater等[19]选择权值βj代替λj, 并令节点处插值为uj, 得到改进的重心有理插值为

(2)

其中权值为

d为不超过N的非负整数; 如果节点为等距节点, 则其权值为

令pj(x)为满足(d+1)个插值点对(xj,uj),(xj+1,uj+1),…,(xj+d,uj+d)的次数至多为d的多项式, 则

(3)

其中ρj(x)表示权函数. 式(3)由多项式插值p0,…,pN-d通过权函数ρj(x)得到, 重心有理插值也可写为

(4)

如果N-d是偶数, 则

其中:

显然当d=0时, 对于等距节点有σ=1.

引理2[20]假设正整数N,d,τ满足d≤N,τ≤d, 且u∈Cd+2+τ[0,T]. 如果xj(j=0,1,…,N)为等距节点, 则

‖r(τ)-u(τ)‖∞≤Chd+1-τ(1+lnN),

其中C取决于d,τ,u的导数.

2 线性重心有理插值配点法

设Ih∶={xi=ih:i=0,1,…,N,xN=T}为I上的均匀网格, 子区间σn∶=(xn,xn+1]上的配置点集合为

Xh∶={x=xn+cih: 0≤c1<…

定义分段有理函数空间为

本文在分段有理函数空间中讨论高阶卷积型积分微分方程(1)的配置解uh, 并用重心有理函数lj(v)表示每个子区间σn∶=(xn,xn+1]上的配置解uh, 即

(5)

因此对于x∶=xn+cih, 方程(1)的配置形式为

用阶段值表示为

其中

(8)

式(8)的局部表示为

令

分别为函数p(x),q(x)的对角矩阵. 令

(10)

(11)

f=(f(xn,1),…,f(xn,m))T,

则方程(8)可简化为

(12)

下面考虑式(10),(11)的卷积积分, 为计算简单, 取步长h=xN/N, 均匀网格点为xi=ih, 则K(xi)可写为如下近似形式：

(13)

其中卷积求积权矩阵W中的求积权可利用文献[21]中的快速Fourier变换计算.

(14)

3 收敛性分析

定理1假设:

1) 方程(1)中给定的函数满足p(x),q(x),f(x)∈Cm+τ(I),v=0,1,2,…,τ-1,K∈Cm(D)；

则对任意一组配置点集Xh, 均有收敛估计

(15)

其中常数Cτ与{ci}有关, 而与h无关.

证明: 令误差eh=u-uh, 则该误差满足方程

(16)

由于

记xn+vh=ι, 则由引理1得

(19)

由引理2得

(20)

(21)

(22)

在节点x=xn,i=xn+cih处考虑式(22)的误差, 式(22)等号左侧可化简为

(23)

在节点x=xn,i处高阶卷积型积分微分方程的卷积积分项显式表达式为

(24)

设x=xn,i∈Xh, 则式(16)可改写为

令

(26)

(27)

εn=(εn,1,…,εn,m)T,

则线性代数方程组为

其中:Im为m阶单位矩阵;

其中:

证毕.

4 数值算例

在某些物理和生物现象的数学建模和控制理论中常出现卷积型积分微分方程, 在大多数应用中, 卷积型积分微分方程不能解析求解, 必须采用一种合适的数值方法来近似求解. 下面考虑均匀网格, 在MATLAB 2018a中实现重心有理插值配点方法, 用数值实验验证方法的有效性.

例1考虑一阶卷积型积分微分方程[15]:

其精确解为u(x)=1+x2/2.

表1 例1的误差及收敛结果

例2考虑高阶卷积型积分微分方程:

其精确解为u(x)=x+sinx.

在分段有理函数空间中, 选取配置参数c1=0,c2=1/2,c3=1, 分别取m=2,3,d=1, 其误差及收敛结果列于表2, 其中EN和“收敛阶”定义如例1. 由表2可见: 当m=2,d=1时, 收敛阶约为3； 当m=3,d=1时, 收敛阶约为2. 所得结果与定理1中结果一致.

表2 例2的误差及收敛结果

综上可见, 本文将重心有理插值配点方法应用于卷积型积分微分方程, 推导出了卷积型积分微分方程重心有理插值配点法的离散计算公式, 证明了方程的收敛阶, 并选取相应的配置参数, 得到了一般收敛结果. 理论分析和数值试验均表明, 重心有理插值配点法对卷积型积分微分方程的数值求解有效.