浅谈导数在高中数学解题中的应用

■李 剑

在高中数学中,函数是一个十分重要的知识点,同时函数问题涉及的范围十分广泛,出题方式多样化,有很多同学面对多种多样的函数问题会感觉十分头疼,不知道如何下手。而导数则是解决函数问题的好途径,与其他方式相比较,用导数解决函数问题会更加简单、便捷。在高中数学解题中,应用导数可以解决很多问题,特别是关于函数的问题、曲线方程问题,通过导数能获得良好的解题效果。因此,在解答高中数学问题时,同学们可以灵活应用导数来解决问题,以此促进同学们数学学科素养的提升。

一、在函数最值问题中的应用

最值问题是高中函数问题中比较常见的问题之一,不管是日常练习,还是在考试中,都会涉及最值问题,在实际解题时,同学们可以利用导数来解决函数最值问题。

例如：函数f(x)=-x2-2x+3在[a,2]中的最大值是,求a的值。

分析：这一问题是最基本的求值问题,同学们在解题过程中,如果通过图形或者一元二次方程根的方式求解,会显得十分麻烦。对此可以从导数的角度入手进行求值。函数f(x)=-x2-2x+3的导数为f′(x)=-2x-2,令f′(x)=0,可求得x=-1。当a≤-1时,函数f(x)的最大值是f(-1)=4,不符合题意；当-1＜a＜2 时,函数f(x)在[a,2]上单调递减,求得最大值为f(a)=,从而求得。

二、在函数单调性问题中的应用

函数单调性问题也是高中数学中比较常见的问题之一,在解决函数单调性问题时,主要是通过单调性的定义进行判断,而导数的应用可以为函数的单调性判断提供更加简便的方法。利用导数解决函数单调性问题的主要原理是：对于函数f(x),如果它的导数f′(x)在自变量区间大于0,则函数f(x)呈单调递增,反之则单调递减。

分析：在解答这道题目时,如果仅依靠单调性的定义来解答,会显得十分困难,可以从导数的角度入手。由于f(x)的定义域是(0,+∞),f(x)的导数是,对其进行分类讨论：如果a-1=1,即a=2 时,f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上单调递增。如果0＜a-1＜1,则1＜a＜2,当x∈(a-1,1)时,f′(x)＜0；当x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)时,f(x)′＞0。因此,f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1)及x∈(1,+∞)上单调递增。如果a-1＞1,则a＞2,可得f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1)和(a-1,+∞)上单调递增。

总而言之,在高中数学知识体系中,导数具有十分重要的作用,如果同学们牢固地掌握导数知识,并且能灵活地应用导数知识解决问题,就可以有效提高数学学习效果。因此,在实践中,同学们要充分把握导数的本质,并能很好地利用导数解决数学问题。