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培养学生“懂而会” 提升学生数学学力

2020-11-25颜福进

名师在线 2020年27期
关键词:奇偶性变式函数

颜福进

(张家港市沙洲中学,江苏苏州 215600)

引 言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,需要学生通过高中阶段的数学学习,能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养,满足个人发展与社会进步的需要。因此,在数学教育中,提升学生的数学学力显得更加重要[1]。懂、会、熟、巧是学生数学学习中螺旋上升的四个层次,其中,“懂”与“会”是学生学习的基本要求。在当下的数学学习中,既存在“懂而不会”问题,又存在“会而不懂”问题。一味纠结学生的“懂而不会”与“会而不懂”都是不成功的教育,笔者希望学生对高中数学知识做到懂而会、会而熟[2]。

一、消除“懂而不会”现象的策略思考

常有学生反映“课上听得懂,课后作业不会做”,俗称“懂而不会”问题。这种问题的背后主要有两个原因:一是学生的“懂”是表面上的懂,懂的可能只是知识性记忆,或者是“对这个问题就可以这样解”,而不是思考“为什么要这样解”;二是从“懂”到“会”有一个过程,需要学生的“加工”,即思考、分析、理解、运用,才能达到“会”;三是有的学生对教师有很强的依赖性,遇到不会的问题不会主动思考、解答,而是等待教师去讲解。所以有的学生尽管上课时听得“头头是道”,课后做练习时却找不着解题方向,原以为听懂了就记住了,其实并没有内化为自己的知识能力[3]。

学生“懂而不会”的问题,如何消除呢?教师在课堂上可以通过及时暴露学生的“问题”和加强“变式教学”两种措施来实现。

(一)及时暴露学生问题,让学生“懂”得深一点

教师要善于预设课堂上的问题,知晓学生的难点和易错点。课堂上,要引导学生提出问题,包括个人理解、看法、学习体会等,将问题当堂解决,而不要留到课后。

案例1:在教学“基本不等式”的内容时,教师可以运用这一例题。已知a,b∈R+,且a+2b=1,求的最小值。

生1:由a,b∈R+,由可得又因a+2b=1,所以故的最小值为

生2:由a,b∈R+和a+2b=1,得故的最小值为

教师请两位学生分别交流自己的解题思路,看似很有道理,但他们利用了两个基本不等式的运算(加法和乘法),最后能不能取到等号呢?这个知识是这部分内容的难点,也是易错点。教师应当在课堂上通过和学生一起分析,师生合作,寻找产生问题的原因。

本题等号成立的条件需要前两个等号同时成立,但在本题中是不可能的,故这两种解法都是错误的。解答本题时尽量只选用一个不等式,将a+2b=1 代入,得当且仅当时取等号,故的最小值是这样才是正确的解题过程。

课堂上对学生暴露出的问题,教师不要急于否定,要让学生讲出来,师生一起寻找问题、分析问题。问题是课堂上最好的教学资源,在师生共同解决问题的过程中,学生对知识就会“懂”得更深一点。

(二)加强“变式教学”,培养学生的思考、辨析能力

变式教学是运用不同的知识和方法,对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化,从而有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质,从不变中探求规律。课堂上,教师可以通过变式教学,提高学生的思考、辨析能力,促进学生对数学知识的深入理解[4]。

案例2:在教学“函数的奇偶性”时,教师给出例题:判断下列函数的奇偶性,并说明理由。

问题①的变式教学让学生透彻理解该定义,掌握定义的内涵和外延,特别是搞清楚函数存在奇偶性,必须满足“函数的定义域关于原点对称”等有关问题。

这里学生忽略了先求函数的定义域,根据函数的定义域将函数化简后再判断函数的奇偶性。事实上,对函数由x-1 ≠0 得x≠1,所以此函数的定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数。

教师在课堂上安排变式教学,引发学生头脑中固有思维模式的冲突,使学生加深对“函数的定义域关于原点对称”的必要性的理解。教师设置反例、错例辨析的变式训练,通过对问题正面、侧面、反面的分析,使学生发现问题的症结所在,达到去伪存真、由此及彼的目的。这样学生对知识的理解就会更进一步,“会”得就更多一点。

二、消除“会而不懂”现象的思考

学生会机械做题,但不太理解数学,数学学习演变成一种形式化、无意义、机械式的解题训练[5]。丘成桐教授曾与高考数学尖子生交流,学生的认识令他颇为失望。大多数学生对数学根本没有清晰的概念,对定理不甚了了,只是沦为做习题的机器。所以,消除“会而不懂”现象势在必行。一线教师在数学课堂上要多问学生为什么,开展深度教学,让学生既“会”解题,又“懂”数学。

案例3:“组合”的教学中,规定:0! =1 。

生:为什么0! =1 ?

教师应和学生一起探究,从组合的含义看,0!本身是无意义的,这确实不好理解。而且,我们知道当n=m时,由组合数的含义,可知= 1。但根据组合数公式,又得到而产生了规定0!的必要性。那么,规定等于多少呢?由此只能规定等于1,而不能等于其他数,保证了组合数公式的合理性。

案例4:“指数函数”的教学中,把函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数。

生问:为什么a>0,a≠1?

对于a≠1,一般都理解为:若a=1,y=a为常数函数,研究价值不大。对于为什么要a>0的解释,有些人认为是使x∈R,这显然是一种没有思考而做出的错误判断。其实,当a是负数时,如a=-2,(-2)x具有不确定性,有时有意义,如有时无意义,如当等;有时是正数,比如(-2)2=4;有时又是负数,如(-2)3= -8。实际上,如果a<0,y=ax就不是一个连续函数。对于一个不连续且充满无穷多个间断点的函数研究起来会很麻烦,甚至无法研究。所以,为了研究方便,对a的范围规定为

由于学生在数学学习过程中对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解和必要的探究,仅仅停留在表象的概括上,对知识只是“知其然,而不知其所以然”,对此,教师应该让学生“知其然,更知其所以然”。学生多数“会”而不“懂”的内容,基本集中在数学概念及数学本质问题上。这些“为什么”需要教师的重视和理解。教师可以查阅资料,从数学学科出发,给予学生明确、清晰的回答。学生也可以自主研究,开展文献阅读和数学写作,采用多样化的学习方式,持之以恒地思考,然后才能既“懂”又“会”,有所收获[6]。

结 语

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,教师应帮助学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能。在课堂教学中,教师要积极引导学生理解数学知识,不要“以其昏昏,使人昭昭”。因此,培养学生既“懂”又“会”,不仅能利用数学知识解题,还能“懂”数学,“会”研究数学,成为研究型的学生。

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