借助构造法 解答数列题

林中奖

（福建省莆田第二中学，福建莆田 351131）

引言

高中数学主要涉及等差和等比两种数列，虽然基础知识不难掌握，但习题类型复杂多变，主要有求解数列通项公式、前n项和、求解某一项具体的值、证明等问题。对于部分数列习题，学生如果采用常规做法难度较大，而使用构造法往往能够柳暗花明，迅速找到解题突破口[1]。在高中数学数列教学中，教师应注重为学生讲解构造法，提高学生在解题中对构造法的应用意识，同时要做好常见数列问题的汇总，为学生讲解使用构造法求解的相关题型，使其掌握数列习题解题规律，积累构造法应用经验与技巧，在解题中进行灵活应用。

一、借助构造法求数列通项公式

求数列通项公式是高中数列习题中常见的题型。求解该类题型的常规思路主要有利用数列定义、求解公式、利用通项公式与前n项和之间的关系等。但是，部分习题较为特殊，学生采用常规思路，很难对其进行解答，可考虑运用构造法将其转化为能够使用常规思路解决的形式。为使学生牢固掌握并灵活应用构造法求解数列的通项公式，教师应注重为学生讲解相关的解题技巧，使其掌握一般的构造法思路，在解题中少走弯路。例如，对于an+1=pan+q（p，q为常数，pq≠0且p≠1）形式的递推式，学生可通过在两边同时加上合适的常数λ构造新的数列。同时，教师要注重筛选与讲解相关例题，使学生亲身感受构造法在求解数列通项公式中的具体应用，把握构造数列时应注意的问题，遇到类似题型能够尽快求解出正确结果。

例1，在数列{an}中，已知，求数列的通项公式an。

该题已知条件较少，难度并不大。分析可知，其符合“an+1=pan+q”这一形式，可通过构造数列的思路进行求解。解题的关键在于正确找到添加上的常数λ的值。

结合已知条件可知，数列{bn}是以a1-2 为首项，以为公比的等比数列。

∵a1-2=-1，则因此，。

高中数列习题中能够使用构造法求解通项公式的习题类型较多。在授课时，教师应注重引导学生做好相关题型及构造思路的总结。

二、借助构造法求数列前n项和

求解数列前n项和是高中数列的常考问题，通常为某一综合题中的一小问，需要学生结合数列的类型与特点，采用对应求和方法解答。高中阶段，求解数列前n项和的常规方法有公式法、倒叙相加法、错位相减法、列项相消法、分段求和法等，具有一定技巧性。另外，学生还可根据实际情况先使用构造法构造出相关数列，再使用上述方法求解。为使学生求解数列前n项和时能够灵活应用构造法，教师要与学生一起推导常规求和方法，使其搞清楚不同求和方法及其适宜题型，使其能够根据题干选择正确的求和方法，实现快速解题。在授课中，教师应注重围绕相关例题，为学生做好应用构造法求数列前n项和的示范，使学生把握解题的关键，真正掌握用构造法求数列前n项和这种方法。

例2，已知数列{an}中a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，且，设Sn为数列{bn}的前n项和，求S120的值。

该题目为数列与三角函数的综合性习题。求解S120的值需要先求出bn的通项公式，而bn和an存在这一关系。因此，求出数列{an}的通项公式成为解答该题目的关键。同时，根据给出的已知条件还应能看出的周期，以降低求和难度。

由nan+1=(n+1)an+n(n+1)，可推出即。构造数列使其通项公式，显然数列是以a1为首项，公差为1 的等差数列，则=n，则an=n2，所以，而的周期为3，则。

通过教师对该题目的讲解，学生认识到运用构造法求解数列前n项和时，构造合适的数列通项公式是基础，从而在日常学习中注重积累不同数列题型的构造技巧。

三、借助构造法求数列某项的值

在高中数列题型中，一些题目要求学生求解数列某项的值。该类题目的难度并不大，通常运用数列的通项公式或通项公式与前n项和之间的关系进行求解。但一些题目在求解通项公式及数列前n项和时需要应用构造法，找到隐含的递推关系。为使学生掌握相关的解题技巧，教师应让学生意识到在应用构造法解题时，不仅可对通项公式an进行构造，还可对数列前n项和Sn进行构造。

例3，已知数列{an}为正项数列，a1=1，前n项和Sn存在以下关系：则a10=（ ）。

A.72 B.80 C.90 D.82

认真观察题干中的条件可知，其未涉及an，因此，需要通过寻找Sn和Sn-1之间的关系，求出a10的值，即a10=S10-S9。解题时，需要从给出的Sn关系式入手，构造新的数列。

∵数列{an}为正项数列 ∴

教师对该题目的讲解，可以很好地开阔学生的视野，使其意识到在求解数列某一项具体值时，可通过构造新的数列找到Sn满足的数列关系，再运用an和Sn的关系，以及所学的等差或等比数列知识进行求解。

四、借助构造法证明数列不等式

以数列为背景证明不等式的试题技巧性强，难度较大，常作为压轴题。在解题中，构造方程、构造函数、构造新数列等是常用的构造思路。在教学中，为使学生厘清和掌握构造法证明数列不等式的思路与技巧，教师既要注重通过具体例题为学生逐一讲解常用的构造思路，又要注重挑选优秀的习题对学生进行训练，提高学生的解题能力，使其积累运用构造法证明数列不等式的经验。同时，教师还要鼓励学生做好训练总结，做好错题的摘抄，认真分析做错的原因，明确相关题型的证明关键点，在证明类似问题时少走弯路。

例4，设a0=1，

该题目给出的已知条件较少，很多学生不知道从何下手。认真观察要求证的结论，不等式右边含有“π”，而且an的表达式中含有，因此可构造含有正切的新数列进行证明。

由已知条件构造数列{bn}，使得an=tanbn，其中

∵a0=1，则

要想顺利证明出该题，学生要能够根据题干已知条件迅速联想到相关的三角函数，构造出一个新的数列，同时还要意识到在中存在tanx＞x这一重要关系。教师讲解该证明题，可以给学生带来良好的启迪，即当已知条件中含有以及式子时，应注重联想对应的三角函数并利用其构造新的数列。

结语

综上所述，构造法能很好地解答一些数列习题。为使学生掌握这一重要的方法，教师应结合具体的题型，讲解构造法的具体应用，使学生认识到构造法应用的关键，即通常通过构造新的数列求解通项公式、数列前n 项和、某一项的具体值，以及证明与数列相关的不等式。构造法的使用难度较大，对学生的数学能力要求较高。为获得良好的教学效果，提高学生的证明能力，教师既要注重传授相关的证明技巧，又要引导学生在做题的过程中认真总结与反思相关的构造技巧，从而不断提高学生对构造法的应用水平。