揭开三道高考试题背后的“秘密”——同构法求解函数问题

陕西 侯有岐

一、试题再现与简解

题目1(2020·全国卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，则

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

简解：因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，

而22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log22b，

所以2a+log2a<22b+log22b.

令f(x)=2x+log2x，由指数、对数函数的单调性可得，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(a)

题目2(2020·全国卷Ⅱ·理11文12)若2x-2y<3-x-3-y，则

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

简解：由2x-2y<3-x-3-y，可得2x-3-x<2y-3-y.

令f(x)=2x-3-x，由指数函数的单调性可得，f(x)在R上单调递增，且f(x)0.

因为y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.

题目3(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范围.

(Ⅱ)由f(x)≥1，可得aex-1-lnx+lna≥1，即ex-1+lna-lnx+lna≥1，

亦即ex-1+lna+x-1+lna≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(t)=et+t，则g′(t)=et+1>0，所以g(t)在R上单调递增，

且g(x-1+lna)≥g(lnx)，所以x-1+lna≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

当00，所以h(x)在(0,1)上单调递增；

当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(1,+∞)上单调递减.

所以h(x)≤h(1)=0，所以lna≥0，所以a≥1.

故a的取值范围为[1,+∞).

二、试题规律分析

在题目1中，通过添加常数1，进行放缩变形，使等式变为不等式，且不等式两边具有相同的f(x)=2x+log2x结构；在题目2中，经过移项变形，使不等式两边具有相同的f(x)=2x-3-x结构；在题目3中，经过指对转换、移项变形，使不等式两边具有相同的g(t)=et+t结构.然后利用函数的单调性就可以顺利解决问题.

共同规律：首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同的结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题，我们通常称这种解题方法为“同构”.

三、常见的同构类型及应用举例

研究近几年的高考真题和模考题，可归纳同构的常见类型和技巧如下.

类型一：地位同等要同构，主要针对双变量

含有地位同等的两个变量x1,x2，或x,y的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用单调性解决.

【感悟】(1)对于含有二元变量x1,x2的函数，可以使变量x1,x2分别位于不等式两边，呈现出不等式左右两边结构一样的对称形式，便于构造函数模型解决问题.

(2)若a≤x1g(x1)在[a,b]上恒成立⟺g(x)在[a,b]上单调递增，所以g′(x)≥0在[a,b]上恒成立.

(3)含有二元变量x1,x2的函数，常见的同构类型有以下几种：

①g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]⟺g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)，构造函数φ(x)=g(x)+λf(x)；

【变式1】设函数f(x)=x2+ln(x+1).

当x≥1时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[1,+∞)上单调递增.

由已知，不妨设1≤x1

类型二：指对跨阶想同构，同左同右取对数

对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决.通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求.

当0e时，h′(x)>0，h(x)在(e,+∞)上单调递增.因此h(x)min=h(e)=e，所以-a≤e，a≥-e.

所以，实数a的最小值为-e.

【感悟】指对跨阶同构的基本模式有：

(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：

①同左：aea≤blnb⟺aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)=xex；

②同右：aea≤blnb⟺ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；

③取对数：a+lna≤lnb+ln(lnb)，构造函数f(x)=x+lnx.

说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.

③取对数：a-lna

(3)和差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：

①同左：ea±a>b±lnb⟺ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；

②同右：ea±a>b±lnb⟺ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.

【变式2】下列说法正确的是________.

类型三：无中生有去同构，凑好形式是关键

对于有些式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量(如：同乘x或同加x)等方式转化为类型二解决.

【例3】(2019·衡水金卷)已知a<0，不等式xa+1·ex+alnx≥0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值是

( )

【感悟】此种类型常见模式有：

(1)式子两边同乘x.如aeax>lnx，一般在式子两边同乘x(无中生有)，变形为axeax>xlnx，后面的转化同类型二(1).

【变式3】(2020·安徽六安一中模考)已知函数f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为

( )

A.(0,e] B.(0,e2)

C.[1,e2] D.(1,e2)

类型四：同构放缩需有方，切放同构一起上

对解决有些指对混合不等式问题，往往要结合切线放缩，或换元法，进行局部同构，这样可以大大降低这类问题的难度，但要注意取等号的条件以及常见变形等.

【例4】已知函数f(x)=x·ex-a(x+lnx+1)，若f(x)≥0恒成立，则正数a的取值范围是________.

【解析】由题意得f(x)=ex+lnx-a(x+lnx+1)≥0，

①当x+lnx+1≤0时，恒成立；

所以0

【感悟】同构基础上的切线放缩模型常见的有：

(1)ex≥x+1,ex≥ex型：

xex=ex+lnx≥x+lnx+1,xex=ex+lnx≥e(x+lnx)；

xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1，xnex=ex+nlnx≥e(x+nlnx).

x+lnx=ln(xex)≤xex-1，x+lnx=ln(xex)≤xex-1；

x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1，x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1.

【变式4】已知函数f(x)=x·ex+e-a(x+lnx+1)，若f(x)≥0恒成立，则正数a的取值范围是________.

【解析】由题意得f(x)=ex+lnx+e-a(x+lnx+1)≥0，

①当x+lnx+1≤0时，恒成立；

所以0