从导数基本定义切入解题 正确开启高考复习模式

安徽 石新星 王成功

导数是高考的必考考点，主要考查方向是导数的概念、导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与函数的极值和最值、导数与不等式以及导数与方程等.足见导数在高考中比重大、考查角度广、难度大、对学生综合素质要求高.很多学生会因为找不到有效的解题方法而放弃导数题.其实解决导数问题的方法是多种多样的，这给原本就有很大难度的导数问题披上了更加神秘的面纱.然而，万变不离其宗，高考立足于课本基础知识、基本定义，考查的是学生的综合能力.本文笔者将从巧用导数的定义出发，给出破解导数问题的一般方法，以飨读者.意在让我们的高三师生，在高考复习的时候能够正确开启复习之门，立足课本，把握知识的本质，掌握以不变应万变的解题策略.

一、试题呈现

【例1】(2018·全国卷Ⅰ文·21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

【例2】(2019·全国卷Ⅰ文·20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)为f(x)的导数.

(Ⅰ)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(Ⅱ)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.

二、问题探究

【例1分析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)，由f′(2)=0，求出a，并验证x=2是f(x)的极值点，进而求出f(x)的单调区间；(具体解析略)

以上两个思路都是解决导数与不等式问题的常规思路，思路一,无需过多的对函数进行变形，但是需要对导函数的一部分继续求导，计算量大，处理起来较为麻烦.思路二,利用单调性和放缩思想，重新构造函数，结合不等式的传递性来求解，这种思路把函数具体化了，避免了繁杂的计算.横观这两个解题思路，总有一种为了解题而解题的感觉，这样做也未能体现出高考题立足课本知识，是对课本知识的延续和拓展的特点.翻开课本(人教A版高中数学选修2-2第19页)，课后习题B组第2题：

设函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线的方程.

那么本题第二问会不会也与切线有关系呢？能否从切线的角度来寻找破题方法呢？

【解析】(Ⅰ)f′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1,

令g(x)=cosx+xsinx-1，则g′(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

综上所述，f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点.

(Ⅱ)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，即f(x)-ax≥0恒成立,

①当a≤-2时，h′(x)min=h′(π)=-2-a≥0，即h′(x)≥0在[0,π]上恒成立,所以h(x)在[0,π]上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0，即f(x)-ax≥0，此时f(x)≥ax恒成立;

【尝试切线法思路】因为y=ax过原点，且h(x)=2sinx-xcosx-x的图象也过(0,0)点，设曲线h(x)在(0,0)处的切线斜率为k，因此a≤k成立即可.

【解析】令h(x)=2sinx-xcosx-x，所以h′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1，所以h′(0)=2cos0-cos0+0-1=0，所以若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，则a∈(-∞,0].

通过以上两道高考试题的解题过程比较，我们不难发现，从导数的定义入手，巧用切线思想，不仅能够快速找到解题方法，而且会让很多复杂的问题变得更加简单.这也就要求教师在高三复习的时候，不能带着学生沉浮于题海中，而是要站在课本定义和概念的瞭望塔上，找到解题的方向.

三、拓展推广——切线是破解导数题的利刃

用切线来解决导数问题，不是以上两例的专属方法.也不是我们所想的“巧合”，而是各类试题命制的角度，更是“新课程标准”和高考“考试说明”对课本基础知识的要求.也是高考对学生基本能力的考查.所以，用导数的切线来寻找解决问题的方法是可以在一定范围内推而广之的，并且是行之有效的.

(1)求实数a的值以及切点坐标；

(2)求证：g(x)≥f(x).

解法三:作为选择题，本题可以通过比较选项，利用排除法只需要验证a=1和a=4时是否满足题意即可.

利用切线解决导数问题，不是只适用于特殊问题，而是具有一般性的，可以解决的是一类问题,只是有的题目利用切线来解决可能构造的函数较复杂或者是计算繁杂.