解析几何中参数范围问题的求解策略

广东 李文东

解析几何中的参数范围问题是高考的重要考查内容，这一类问题综合性强、变量多、涉及知识面广，解答这类问题往往需要运用函数与方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域或最值等来解决，是高考中的难点问题.这类问题能充分考查逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养，因而备受命题者的青睐.下面谈谈此类问题常见的求解策略.

策略一：构造目标参数的函数

把所讨论的参数作为一个函数，选取一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.此类问题细分如下.

类型1.题中已给参数范围，只需将目标参数用已知参数表示出来

( )

解：∵点B和点A关于原点对称，∴点B也在椭圆上，设左焦点为F′，

根据椭圆定义|AF|+|AF′|=2a，又|AF′|=|BF|，

∴|AF|+|BF|=2a，①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，

又|AF|=2csinα，② |BF|=2ccosα，③

将②③代入①得2csinα+2ccosα=2a，

点评：题中已给α及其范围，只需将椭圆离心率e用α表示出来即可.

类型2.选取适当的参数，将目标参数用已知参数表示出来

(1)求椭圆C的方程；

设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0)，

①当m=0时，k=0；

点评：通过设直线l的方程将参数k用m表示出来，然后利用基本不等式探求参数的取值范围.

(1)求椭圆E的方程；

又判别式Δ=36k2t2-4(1+3k2)(3t2-12)>0，得12k2-t2+4>0，②

联立①②有1

当点M在椭圆内，即-2

综上可知，参数t的取值范围为{t|-2

点评：类似于例3，只是这里还需要根据二次方程有解的条件，运用判别式先求出k的范围，这类问题十分普遍，同时需要注意3k2=t-1中隐含了t>1的条件.

策略二：利用点或曲线的范围

(1)求双曲线的方程；

解：设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点.

∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，

策略三：运用几何性质

解：由双曲线的定义可知：|PF1|-|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|=4a,|PF2|=2a，∵三角形两边之和大于第三边，∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即6a≥2c，得离心率e≤3，又e>1，∴双曲线离心率的取值范围为(1,3].

解：显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4，

∴0

策略四：运用数形结合探求参数范围

例9.直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A，B,求实数k的取值范围.