函数诚可贵，联系价更高——以导数中的六个函数为例

宁夏 陈熙春

导数是高中数学的重要内容,同时导数也是研究函数问题的重要工具,在导数的学习中有六个非常重要的函数模型是高考的热点和难点,熟练掌握它们的性质、图象等,对于解决含有指数式、对数式等复合函数的最值、极值、零点个数、求参数范围等问题非常重要,在解题过程中要以这六个函数为基本模型,把复杂的问题通过联想转化为熟悉的基本模型来解决,有利于快速找到解题思路,达到事半功倍的解题效果.

一、导数中的六个重要函数模型

1.六个重要函数模型

2.六个基本函数的联系

以f(x)=x·ex为母函数的“联系函数”.

(5)y=xlnx=elnxlnx=f(lnx).

可以看出,这六个函数有着密切的联系,根据解题的需要,可以进行相互转化.“根深才能叶茂”,只有熟练掌握它们的联系,才能在解题中灵活运用,下面从五个方面谈谈六个函数在解题中的应用.

二、构造函数判断函数的单调性

( )

A.(-∞，1) B.(0，1)

C.(0，e) D.(1，+∞)

三、构造函数求参数的取值范围

1.直接利用基本函数

类型1：含有指数式

例2.若函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上有两个极值点x1，x2(0

( )

类型2：含有对数式

例3.函数f(x)=xlnx-mx2有两个极值点,则实数m的取值范围是

( )

C.(0，1) D.(0，+∞)

评析：可以看出,含有指数式和含有对数式的解题思路完全相同.只不过本题还需要联系基本函数进行变形,再进行构造基本函数.教学中要善于把学生从陌生的情境中引到熟悉的情境中,以激发学生的思考.

2.变形两次，构造基本函数

类型1：乘积型aea≥blnb

例4.已知不等式λeλx≥lnx,x∈(e2,+∞),求λ的取值范围.

评析：解法1构造基本函数是以左边的函数为目标,构造函数g(x)=xex,解法2构造基本函数是以右边的函数为目标,构造函数g(x)=xlnx,解法3是两边取自然对数构造基本函数,显然解法3最简单，因为构造出的函数的单调性非常明显,所以在遇到乘积型aea≥blnb时,两边取对数是最有效的方法.以上三种方法都用到了联系的观点,殊途同归，真可谓“千淘万漉虽辛苦,吹尽狂沙始到金”.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)求证：(ex-1)ln(x+1)>x2.

解析：(Ⅰ)对已知函数求导,得

评析：本题是指对转换构造函数证明不等式问题.从构造方法入手,证法1把x变形为ln(ex-1+1)是解题的重要环节,证法2把x变形为eln(x+1)-1，使不等式左右两边具有相同的结构,运用了整体思维优化解题策略,起到了“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的功效.

类型3：加减型ea±a≥b±lnb

例6.已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-x-1.若g(x)≥kf(x)对∀x∈[0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.

解析：由题意得ex-x-1≥k[x-ln(x+1)],右边式子凑1得ex-x-1≥k[x+1-ln(x+1)-1]，即ex-x-1≥k[eln(x+1)-ln(x+1)-1]，因为x≥0，所以x≥ln(x+1)≥0，构造函数y=ex-x-1.又因为y=ex-x-1在[0，+∞)单调递增，且当x=0时y=0,所以不等式恒成立满足k≤1即可.

评析：运用联系的观点构造函数模型y=ex-x-1是解决此题的关键.从而启发我们在解题过程中要想构造出适合的数学模型，做题必须做到“工夫在诗外”,博观而约取,厚积才能薄发.

四、构造函数判断零点个数

1.换元构造基本函数

例7.已知函数f(x)=xex-a(x+lnx)(x>0).讨论函数f(x)的零点个数.

评析：利用换元法构造基本函数,把函数f(x)的零点个数问题转化为基本函数的图象交点个数问题.

2.变形构造基本函数

例8.已知函数f(x)=ex-1-alnx,0≤a≤e,求证：f(x)无零点.

评析：从观察联想入手,通过构造两个基本函数,分别求出它们的最值,问题就迎刃而解了,这样精彩的解法,真是“晴空一鹤排云上，便引诗情到碧霄”.

五、构造函数证明不等式

1.转化为重要函数证明不等式

评析：本题通过简单的变形,就可以转化为基本函数的最值问题.

2.指对分离，构造函数证明不等式

(Ⅰ)求a,b;

(Ⅱ)证明：f(x)>1.

由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2.

(Ⅱ)分析：常规方法证明

评析：在要证明的不等式中如果同时含有指数式和对数式,则在证明过程中要进行指、对分离，“改头换面”，把指数式和对数式分别放在不等式的两边,采用“分而治之”的策略,分别求出不等式两边的基本函数的最值.

六、导数的隐零点问题

导函数的零点,根据其数值计算上的差异,可以分为两类:(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.

对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,是导数综合问题中的一个难点.

(Ⅰ)若f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的最大值；

(Ⅱ)证法1：常规解法(虚设零点——隐零点代换)

证法2：构造函数法,分而治之

证法3：构造函数法

又g(lnx)=elnx-lnx-1=x-lnx-1≥0，②

证法4：指、对放缩法

利用上面的方法可以顺利地解决2015年全国卷Ⅰ文科第21题节选,请读者尝试.

评析:(1)隐性零点代换实际上是一种“明修栈道,暗度陈仓”的策略,也是数学中“设而不求”思想的体现.导函数零点虽然隐形,但只要抓住其特征(零点方程),判断其范围,最后整体代入即可.

(2)对两个重要不等式ex≥x+1,x-1≥lnx的应用要高度重视,如证法4巧妙地运用这两个重要不等式进行连续放缩证明,使解题过程简洁,运算速度快，正确率高.

(3)“秀枝一株，嫁接成林”,四种证明方法各有千秋,分别从不同的视角切入,真是“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,体现了思维的灵活性.