平稳过渡，兼具创新——2020年江苏高考数学试题评析与启示

江苏 孟 彪

2020年是江苏省高考自主命题的收官之年，自2008年以来江苏卷已匆匆走过13载，经过13年的不断摸索和创新，2020年江苏省高考数学试卷让人耳目一新，纵观整卷，试题大气、结构稳定、内容创新、思想内敛.试题以《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》(以下简称《考试说明》)为纲，围绕新课程的理念，立足教情和学情实际，科学有效地考查了考生的基本数学素养和能力，突出反映了高考立德树人、服务选才、引导教学的核心立场.全卷浑然天成，层层递进，清新自然，是一份难得的佳作.

1.试卷整体评价

“平稳过渡、兼具创新”是今年江苏卷数学试题的显著特点.试题在基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验方面全面兼顾，试题中问题的呈现朴实但又不失新颖，选材寓于教材而又高于教材，有力地践行了新课程下的数学教学改革，发挥了积极的导向作用.试题立足数学学科本质，立足学科整体选材，根据数学A、B、C知识等级设定考查权重，追求合理的知识结构和能力层次，整个试卷层次分明，试卷以《考试说明》为纲，试题均采用起点低、入口宽、多层次、高立意的方式，以期获得较好的梯度和区分度.不仅注重考查基础知识，也突出考查主干内容，既全面考查数学核心素养，又综合考查基本能力.在肯定和坚持2018、2019年成功命题的基础上，对试题的难度和区分度做了一定的微调，以进一步优化整张试卷的结构，有利于指导中学教学与改革，有利于高校选拔人才，具有浓厚的江苏特色.

1.1结构稳定，特色鲜明

试卷坚持了自2008年起的成功经验，即江苏省高考数学Ⅰ卷采用“14道填空题+6道解答题”的题型结构并延续至今.试题涵盖了《考试说明》中要求的主要内容，从整体结构上看，试卷包含了《考试说明》(必做题部分)中的全部8个C级考点(要求掌握)，38个B级考点(要求理解)中的35个，25个A级考点(要求了解)中的19个；从考查的内容上看，高中数学的主干知识，如向量与三角、立体几何、解析几何、数列、函数等仍然是支撑整份试卷的主体内容，这五大块内容和数学应用题构成试卷中六道解答题.真正做到重要知识点重点考查的命题方式，有利于对一线教师的正确引导，有利于一线师生在备考中做到方向明确、重点突出，实现科学备考.

自2008年以来，江苏卷的填空题中1～8题是基础题，主要考查集合、复数、算法、统计、概率、方差(标准差、平均数)等，9～11题是中档题，12～14题是把关题，9～14题主要考查8个C级考点，即两角和与差的正余弦、正切公式，平面向量、等差数列、等比数列、基本不等式、一元二次不等式、直线方程、圆的方程以及函数知识.

江苏卷主观题的命题规律更强，考题具有试题位置和内容相对稳定两大特点.今年也不例外，第15题考查线面平行和面面垂直的证明，第16题考查解三角形及三角恒等变换，第17题考查成本问题的应用题，第18题考查直线与圆锥曲线的位置关系，第19题考查函数与导数、不等式综合问题，第20题考查数列新定义，等差、等比两类基本数列及其综合应用.

1.2回归教材，贴近实际

试卷中有一部分试题是通过对课本例题、习题、探究问题改编而来，试题呈现方式常规、不落俗套，配图规范美观，阅读无障碍，解题无陷阱，考查的就是教和学的基础知识和基本方法.如试卷的1～10题、15～16题、17～20题第一问，以及附加卷的第21,22题等主要是对基础知识、基本方法的直接考查，计算量小，思维度低，基本是数学知识的直接再现，没有陷阱也没有为难学生.中档题和把关题11～14题，难度逐渐增加，贴近学生实际能力，但整体难度较去年有所降低.把关题第19(3)，20(3)难度大，虽然问题也是熟悉的知识背景，侧重考查逻辑推理能力，但大部分学生无法顺利做出，成功体现了高考选拔性原则，对中学数学教学具有良好的导向作用.

例1.(2020·江苏卷·11)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是________.

分析：本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，该试题来源于苏教版必修5数学教材2.2.3节和2.3.3节等差数列和等比数列前n项和公式的特点.

1.3试题平和，方法多样

纵观整张试卷，可以发现全卷试题平和，背景朴实.客观题中，即使是填空题中的把关题，第12～14题，考查的也是通性通法，难度较往年偏低.虽然试题平和，但是把关题设计灵活、解法多样，不同层次的学生根据自己的实际能力可以选择不同的解法.但若思想方法选择恰当，则过程简洁、计算量小，表现出的数学能力就强.真正地体现了多考一点想的，少考一点算的.

例2.(2020·江苏卷·12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是________.

分析：本题考查了基本不等式在求最值问题中的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”，本题可以从多角度进行破解，方法如下：

1.4强调通法，凸显思想

试题平和，强调通性通法的考查，加强对中学数学知识中所蕴含的基本数学思想方法的考查；试题入口宽，易上手，由简到繁，层层递进.试题对学生的基本思想的考查有深刻的体现，如第10,13,14,16，17，18，19题考查数形结合的思想；第19(2),20(3)题考查分类与整合的思想；第6，12,13，17,18,20题以及第22题附加题考查函数与方程的思想；第7,8,11,12，14，19,20题以及第23题附加题考查化归与转化的思想.

分析：本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析及运算求解能力.近几年江苏卷高考题中直线与圆的考查很具有规律性，2015～2018年考查的是隐形圆，而2019～2020年考查的是明圆.本题作为填空题的压轴题，入口较宽，方法多样，但是若设计的解题程序合理，则可达到事半功倍的效果.几种处理方法如下：

方法1.利用平面几何关系，将面积问题转化为关于长度或者角度的函数问题，求解函数最值即可，方法如下：

连接PC，PA=PB,CA=CB,所以PC⊥AB，延长PC交AB于点D.

当然，本题还可以直接用解析几何方法处理，即联立方程、利用韦达定理、弦长公式求解，虽然思路简单，但计算量太大，作为填空题不提倡，此处不再呈现.

1.5能力立意，适度创新

高考命题的一贯指导思想是“能力立意，科学选才”.江苏省高考数学《考试说明》提出的“数学基本能力”是指：抽象概括、空间想象、运算求解、推理论证和数据处理.2020年江苏卷对数学基本能力的考查贯穿始终，如第3,5题主要考查数据处理能力；第6，8,10,13,14，18题主要考查运算求解能力；第10,15,23题主要考查推理论证和空间想象能力；第14,18～20,23题综合考查了抽象概括、推理论证和运算求解能力.《考试说明》中也明确要求注重考查学生的应用意识，17题应用题主要考查学生数学建模的应用能力.而数学能力的考查主要体现在思维能力的考查，即思维的深度和广度的考查.

创新也是高考命题的指导思想，命题既要遵循课标，符合考生实际，又要以恰当载体对学生的创新能力、综合能力和核心素养进行考查.如第19题推陈出新，其新意主要体现在题干中函数为多项式函数，还涉及“夹逼”思想，具有高度抽象性，但考查的内容还是高中阶段的切线问题、不等式恒成立问题、导数证明不等式问题，本题将函数、方程、导数、不等式等有机融合，体现了在“知识点交汇处命题”的思想，凸显思维和能力考查，体现较好的创新性.第20题为数列综合题，是数列新定义题，以新定义为载体，将新定义的“λ～k”数列与等差、等比数列结合，主要考查等差、等比数列的定义、通项公式等基础知识，考查推理论证、运算求解及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，考查学生的创新意识、考查化归与转化的思想.19,20题均采用问题串的命题形式，注重梯度，层层递进，第一问简单，第二问难度中等，设问和方法常规；第三问难度较大，但方法有继承性、发展性，对思维和能力的要求较高，对于数学成绩优秀的学生也有一定的挑战性，有较好的区分度.这种设问方式为不同水平的考生均提供了发挥空间，践行了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念.

分析：本题主要考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，难度较大.先由f(x)≥h(x)，求出|t|的取值范围，由方程g(x)-h(x)=0的两个根，求得n-m的表达式，利用导数证得不等式成立.

令M(x)=x2+2tx+3t2-2，

当00,-1<-t<1，

当1≤t2≤2时，Δ=-8t2+8≤0，

设4x2-4(t3-t)x+(3t2+4)(t2-2)=0的两根为x1,x2，

构造函数P(λ)=λ3-5λ2+3λ+8(λ∈[1,2])，P′(λ)=3λ2-10λ+3=(λ-3)(3λ-1)，

所以当λ∈[1,2]时，P′(λ)<0，P(λ)单调递减，P(λ)max=P(1)=7.

2.对高中数学教学的启示

2.1用好教材，夯实基础

江苏省高考卷十分重视基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的考查，有相当一部分试题源于教材.在新授课时必须严格按照课程标准、教学要求，引导学生重视基础，落实数学学科本质，启发学生从现象到本质，从孤立到系统的辨析数学概念，理解数学本质，感悟数学思想.在教学过程中学生不仅要学习新知识，更要形成基本的数学思维模式，教师要利用好教材资源，要充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，让学生感受知识生成、生长的过程，真正培养学生的数学思维能力.

2.2立足课堂，提升素养

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》将数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学核心素养是高于数学知识的思维品质和关键能力，而数学核心素养的主阵地就是课堂.因此，在课堂教学过程中要有意识地培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.引导学生构建新旧知识之间的联系，如试卷第11题，考查等差、等比数列前n项和公式的特点，在课堂教学时，可以把等差数列与一元一次函数，等差数列前n项和与一元二次函数建立关系；等比数列、等比数列前n项和与指数函数建立关系.只有在平时的课堂教学中，树立以发展学生数学核心素养的教学意识，让数学核心素养根植于课堂，才能优化课堂教学，提高课堂效率.

2.3重视探究，激活思维