基于GM（1,1）模型的绕阳河流域丰水年预测

王 垠

（辽宁省阜新水文局，辽宁 阜新 123000）

1982 年我国控制论专家邓聚龙教授提出了灰色系统理论，该理论一经提出后便在国际上引起了极大的关注。其主要观点是把随机量看作在一定范围内变化的灰色量，尽管这些灰色量间存在着无规则的干扰因子，但经过处理后总能发现其规律性。它是一种独特的预测方法，一般表达方式为GM(1，1)，即表示利用n 阶微分方程对x 个变量所建立的模型，在原始数据量较少时具有优势。目前，灰色理论已经广泛地应用于农业科学、经济管理、水利水电、生命科学等各学科，灰色预测是灰色系统应用的范畴之一。灰色预测是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据数列，然后建立微分方程模型，从而预测事务未来发展趋势的状况。常见的灰色模型有GM（1,1）、GM（2,1）、DGM 和Verhulst，其中后三者适用于非单调的摆动序列或有饱和的S型序列，而GM（1，1）模型适用于具有较强指数规律的序列，因此，在灰色预测中，GM（1,1）灰色模型是最常用的模型[1]。目前，GM（1,1）模型广泛应用于水文数据预测方面的研究中，如杜小刚、原文林等人应用改进GM（1,1）模型对某站的径流量做出中长期预测[2]；李东奎、冮行久应用灰色模型对柳河流域的干旱年进行模型建立及预测[3]；李建峰,吴爱祥等人利用GM（1,1）模型对某边坡工程降雨量进行模型建立及预测[4]。

1 灰色系统的GM（1,1）预报模型

GM（1,1）主要形式是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程，解方程进而建立模型。其模型建立具体方法如下：

将X（0）设定为原始时间序列，则X（0）可生成序列X（0）=X（0）（k）（k=1，2，3……n），设X（1）为生成序列，则X（1）=X（1）（k）（k=1，2，3……n）。根据GM（1,1）模型概念将离散的随机数经过依次累加成算子，当增加滤掉信息时，X（0）和X（1）之间关系为由于上式为随机数据的累加形式满足指数分布，故可得关于X（1）的微分方程。本文将X（1）看为关于时刻t 的连续函数，X（1）=X（1）（t），建立GM（1，1）模型：

式中：α 和μ 为模型参数。

由（1）式可得X（1）的离散的预测数列：

通过数列计算确定α 和μ 值后，按模型进行递推即可求得预测的累加数列，通过检测后，再进行累减，即可得到预测值。本文均为等时间，间隔Δt=1，因此，ΔX（1）（t）=μ+αX（1）（t），前差Δf 和后差Δb 分别为：

由（5）按最小二乘法原则可以求出（2）式的系数矩阵：

2 GM（1,1）模型的应用

2.1 绕阳河流域丰水年预测模型建立

绕阳河发源于辽宁省阜新市阜蒙县扎兰营子乡骆驼山,境内河长114 km，境内流域面积3669.1 km2，流域形状呈扇形。其主要支流有羊肠河、东沙河、二道河、苇塘河等。本流域地势多属丘陵，西高东低，植被稀疏,水土流失严重。该流域降雨时空分布不均，属暴涨暴落河流，多年平均降雨量为439.8 mm，多年平均蒸发量为1746 mm。该区域四季分明，雨热同季，日照丰富，干燥多风，因自然地理条件不同，气候差异显著。流域内有韩家杖子水文站，位于绕阳河上游，该断面以上流域内包括阜蒙县的鹜欢池镇、建设镇、塔营子乡、平安地镇，彰武县的哈尔套镇和四堡子镇部分地区。本文采用流域内韩家杖子水文站1951 年～2018 年降雨资料，利用GM（1,1）模型对本流域的丰水年进行预测。韩家杖子水文站历年降雨量见图1。

图1 韩家杖子站历年降水量过程线图

根据韩家杖子水文站降雨资料，本文以大于600 mm 的年份作为丰水年，建立表1。其中X（0）为洪水年份在时间序列中的排列位数，X（1）为其排列位数累加项。

表1 丰水年对象表

按式（7）、式（8）得：

2.2 模型精度检验

2.2.1 后验差检验

后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验。后验差检验是按照精度检验C（后验差）和P（小误差概率）两个指标进行检验。

其中e（0）（t）=x（0）（t）-x（0）（t），t=1，2，…，n 为残差数列。

3）计算后验差比值

后验差检验要求指标C 越小越好，C 指标越小表示S1越大而S2越小；指标P 越大表明残差与残差平均值之差小于给定值0.6745S1的点越多。其精度等级可以根据表2 判断。

表2 GM（1,1）模型精度表

所有的Δ（t）均小于0.6745S1，因此可以判断，P=1＞0.95，C=0.12＜0.35，模型精度为好，计算模型合格。残差具体计算过程见表3。

表3 残差检验表

2.2.2 关联度检验

关联度即是在预测值与累加值（或还原值与原始值）之间，计算其接近程度。关联度大，精度较高，反之则差。对GM（1,1）模型做关联度检验，可以以x0（k）作为参考系列，与x1（k）作关联度分析。关联系数计算利用如下公式：

其中X0（k）为参考数列的第k 个取值，Xi（k）为比较数列第k 个取值，ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5。

根据表3 残差检验表，由于i=1，所以：

因此根据公式（9）：ξ（1）=1；ξ（2）=0.5201；ξ（3）=0.9092；ξ（4）=0.3333。

3 绕阳河流域丰水年预测

根据模型计算，当k=5 时，x1（5）=94.5338，还原数据x0（5）=44.5862；还原数据减去原点年份数据，则第五次洪水发生年份为第四次丰水年份后的第15 年，即1994 年。根据韩家杖子雨量站历年降雨量数据，1994 年雨量为751 mm，降雨量大于600 mm，符合实际情况。

当k=6 时，x1（6）=156.7934，还原数据x0（6）=62.2596；还原数据减去原点年份数据，即预测第六次丰水发生年份为第4 次丰水年份后的第33 年，即2012 年。根据韩家杖子雨量站历年降雨量数据，2012 年雨量为632.1 mm，降雨量大于600 mm，符合实际情况。

4 结语

根据预测结果，预测数值与实际情况相符，可以看出对绕阳河流域洪水年模型的建立是合理的。这对该流域降雨特点的研究提供极大的便利条件，为今后该流域水文监测预警机制提供数据支撑。GM(1,1）模型在水文数据预测中的适用面十分广泛，本文主要是对韩家杖子流域洪水年进行模型建立并进行丰水年预测，同样可以适用于各区域干旱年、径流量等方面预测。但GM（1,1）模型的建立还存在一定局限性，有时会产生误差较大、数据选取不合理等方面问题，因此在应用中要注意数据处理、精度检验等方面问题。