高中数学教学设计——“导数的概念”

◎ 张志伟

本节课是对“人教B 版《普通高中课程标准实验教科书——数学选修1-1》第三章第一节3·1·2的第一课时——导数的概念”的教学。导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具。考虑到高中学生认知水平有限，没有采用一般的“数列——数列的极限——函数的极限——导数”这种建立概念的方式，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”定义导数。这样一来，一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上。另一方面，学生对逼近的思想有了丰富的直观基础和一定理解，有利于大学学习严格的极限定义。本节课将导数概念的建立划分为两个阶段，首先明确瞬时速度和切线斜率的含义，然后去掉物理背景和几何背景，由两个实例出发，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，给出导数的定义。借助信息技术，通过让学生亲自计算、几何画板展示等方法，让学生体会逼近的思想和用已知探求未知的思考方法。基于以上分析，确定本节课教学重点为：建立导数概念及对导数思想和内涵的理解。

一、教学目标设置

本节的中心任务是形成导数概念，概念形成需要通过两个实例抽象得出。1.借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；2.借助抛物线的割线逼近切线的问题，明确切线斜率的含义；3.以速度模型为出发点，结合切线斜率抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，理解导数的内涵；4.通过平均变化率的计算，让学生切身体会逼近思想，渗透以已知探求未知的思考方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养。

二、教学过程设计

1.知识回顾

回顾探究：在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10。

计算运动员在0 ≤t≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题。(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

问题1.在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m) 与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10，计算运动员在t=2的瞬时速度。

2.设疑自探

如何求运动员的瞬时速度？与平均速度有什么关系？引起学生思考。我们可以用来研究高台跳水运动员在某时刻的瞬时速度。师生共同确定想法：计算t=2附近的平均速度，细致地观察它的变化情况。

3.解疑合探

(1)当Δt取不同值时，计算平均速度vˉ=的值。

下表是计算问题1 中当t=2秒处附近时间段内平均速度的表格，请分组合作完成此表，猜想在t=2秒处的瞬时速度，并说明理由。

为便于观察变化趋势，要计算一组平均速度，引导学生采用数学符号将想法具体化，明确计算公式。要求学生分组合作，通过学生亲自计算引导他们发现平均速度的变化趋势。

(2)当Δt趋近于0时，平均速度vˉ有什么样的变化趋势？

结合学生的计算结果，组织学生观察、讨论平均速度的变化趋势，引导学生说出“当Δt趋近于0时，平均速度趋近于一个确定的值-13.1”。

(3)更多数据，感受规律

我们用这个方法得到了高台跳水运动员在t=2s附近，平均速度逼近一个确定的常数。那其他时刻呢？比如t=1s？请大家按照刚才我们探究t=2s时的过程，用同样的方法，计算t=1s时刻附近的平均速度。

4.总结规律

运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？已知其他路程和时间函数的解析式，求瞬时速度都是这样吗？

带领学生回顾探求t=2时瞬时速度的全过程，引导学生从特殊到一般，获得t=t0时瞬时速度的形式化表示。教师介绍符号，并解释符号含义。

总之，教师可以引导学生从两个方面进行小结。知识方面：瞬时速度，切线斜率，瞬时变化率，即导数的定义。思想方法：思考方法——以已知探求未知，特殊到一般，具体到抽象，逼近思想。