预与集 辩与补 用与提——九年级数学几何复习课网络直播教学模式探索

一、背景、问题及成因分析

2019 年底一场突如其来的“新冠”疫情打破了2020 年春节的平静，在“停课不停教，停课不停学”的背景下，教师们积极响应上级号召，通过学习各类信息技术软件，开始了网上授课的教学历程。在新的教学模式下，老师们很快就感受到，网上授课与课堂教学之间存在巨大差异，同时也对网上授课的教学模式产生诸多困惑，例如如何运用和掌握最新的信息技术操作线上授课? 在线上教学中，怎样更好的提升课堂效果，落实教学知识? 怎么培养和提升学生在家学习自律性和主动性? ……问题不断呈现，亟需教师们解决，因此“这样的教学有效吗”成为老师的口头出现最多的词语。

本人在此背景下，对于网上授课存在问题和成因进行如下梳理和分析：

1.存在问题 网上授课完全改变了传统的课堂教学模式，是一种全新的教学模式；它不仅是对教师教学能力的新挑战，也是学生学习模式的新体验。在经过一段时间的直播课堂教学后，学生的新鲜感逐渐化为平淡，网课教学的不足也就随之逐渐暴露：

(1)自觉准时参与上课的学生越来越少，迟到的现象日益凸显；

(2)课上师生、生生互动的机会严重不足；

(3)课后能及时完成网课作业的学生人数越来越少；

(4)作业质量下滑，学生利用网络搜寻答案现象严重，甚至出现同学间抄袭现象。

2.成因分析 就直播课堂教学而言，造成上述这种现象的原因主要有以下几个方面：

(1)师生之间隔着网络，没有往日的耳提面授，学生无形中觉得这样的课堂并不是真的课堂，因此对于网课有随意应对的想法。

(2)直播课的形式或内容不够新颖，无法长期吸引学生的注意力。

(3)直播课缺少师生、生生参与互动的设计。

(4)授课期间，师生之间与生生之间的交流不够便利。

(5)课间教师无法象面对面的课堂教学那样，可以直接监管学生的学习态度、学习情绪、学习行为和方法。

二、网课教学的有效实施模式举例

下面我以一堂初三数学在线几何复习直播课为例，谈一点自己在网课教学中的教学模式或策略。

年初的网络直播课，对于初三学生而言已是初中数学的第一轮后期复习阶段。如何利用网上直播课形式有效的组织学生，做好中考前落实知识点和提升综合解题能力至关重要。也就是如何有效的利用网课教学，完成教学目标是我首要解决问题。为了解决网上课直播课本身存在的不足，提高网课的教学质量，我在网络直播授课中，尝试过各类教学方法，并将课前、课中和课后的各项工作做得更加细致化，力求教学效果的最大落实。

在几何综合复习阶段，我发现一题多解的教学方法，比较有利于培养学生的发散思维和“再学能力”；串联知识的内涵和外延，融会贯通，有利于培养分析问题的能力，提炼结论，并从中优化方法的目的。在一段时间的摸索后，最终尝试了“预与集”、“辩与补”、“用与提”的初三数学网上几何复习课教学模式，并取得了一定的成效。

1.课前——“预与集”

(1)“预”，就是预设、预习。“预”是一节课开展的前提，在一定程度上决定一堂课的成功与否。从老师层面，教师除了要求对教材内容自如运用之外，还需充分做好课前准备工作。将查阅资料，翻阅各种教材，教学参考书进行整合后，再精心备课。正所谓“凡事预则立，不预则废。”只有课前的精心预设，才有可能在课堂上实现精彩的生成。对于初三几何复习课在网上授课教学模式下，题目选择至关重要，教师需在芸芸题海中找到具有典型的题目，作为一节复习课的辩题，而辩题的抛出既要达到复习基础知识的目的，同时还要达到学生思维力度提升和解题方法优化的目的。

对于学生而言，网上授课受区域和空间的影响，无法达到课堂教学直观交互和反馈的效果，因此需要学生提前做好“预”的相关工作。例如老师提前公布辩题后，学生需要自行翻阅教材，思考问题，尝试多种角度去分析并完成辩题。以达到思维能力的自我提升，并为课堂中生生和师生之间的思维碰撞做好准备。

比如，在复习等腰直角三角形几何知识的时候，为了提高学生利用全等、相似以及解析几何等综合思维能力，我选择了下面这样一个题目，作为一堂课的“辩”题，使学生基于所学，尝试运用不同方法解答：

辩题：如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段BC 上一动点(与点B，C 不重合)，连结AP，延长CB 至点Q，使得CQ=CP，过点Q 作QH⊥AP 于点H，交AB 于点M。

(1)若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小(用含a 的式子表示)；

(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明。

(2)“集”即为收集。要求学生根据辩题自主整理完成的各种解答方法，并拍照上交至钉钉家校本中，教师则将学生的各类答案进行批改和收集，做好整理分类，记录学生完成情况，做到心中有数，课堂设计以学生已有的思路、方法为主，并以此为基础，设计好能调动师生、生生互动的网络直播教学问题。

比如上题，在对学生预做答案批改中，我发现：学生基本上从全等三角形的视角出发，运用等腰直角三角形和轴对称等相关性质求证结论。学生解法统计如下：

通过“预”与“集”，我们就能更好、更合理地安排本次网络直播教学中的重点和难点，并引导学生体验和分析：哪种方法好? 还有没有更好的方法?

2.课中——“辩与补”

(1)“辩”，就是分辨、辩论。“辩”的目的不仅仅在于调动学生认真参与网络直播课，更重要的是引导学生自主思考如何高效、简洁、精准解题。

首先，在课堂上，利用图片、幻灯片等方式，呈现整理好的几种典型的、比较优秀的解法，由解题人使用钉钉在线视频、语音及连麦功能，谈谈他的解题思路和过程，分析困惑，其他同学边看边听，采众人之长，补已之短。

其次，让其他学生听后，谈谈哪一种方法更好。当学生有想法后，让学生先回复“1”，再以点名的方式，带领学生参与辩题环节。此时教师需提前准备一些备用图形，根据辩题者的讲解，添加辅助线，并用手机直播实时呈现。帮助学生在听的同时，也能直观的看，动态的思考，实时反馈答辩。在这个基础上，许多学生都积极参与到课堂辩论和探讨中来了。

以上题为例，有时同学添好辅助线完成解答后，其他同学在该图中换一种思路就又出现了新的解法；有时同学也会提出自己的想法，添好辅助线，可自己又无法证实。这时同学们就充分发挥群体的力量，争相互动，从中得到优化的解题方法。在辩论中，学生的想法不断地产生碰撞，创造思维能力得到不断的提升，对问题的分析解决能力得到更广的培养，使学生达到解一反三的程度。从而满足初三学生的复习课目的。

以下为网上课堂实录：

在“辩”的环节中，学生课堂参与的积极性得到了极大的提高。通过辩题的分析、探究，学生在“辩”的过程中不仅收获了知识和解题方法，互动中的声音交流和思维碰撞更是师生之间、生生之间情感的共鸣，为今后开展和谐课堂教学打下良好的情感基础。

(2)“补”，就是补充、填补。“补”的有效性不仅体现了教师的教学能力，也是帮助学生开阔眼界、提升其综合解题能力的关键。

教师是课堂的“组织者”和“引导者”，同时也是互动、互助高效课堂的推动者。在缺少直接交流、互动的网上授课的教学模式下，教师作为教学活动的引导者，就更需要鼓励学生在课堂上敢于提出问题和意见，充分表达自己的看法。当学生出现瓶颈时，通过有效的问题讨论和思考，引起学生认知重塑和知识迁移，引导学生完成发现问题和解决问题的过程。从而在学生掌握已有的解决方案外，提出或获取一些新思路新想法，这就需要教师进行适当的“补”。

仍以上题为例，在前面的解法辩论中，各种解法主要从构造全等三角形的视角出发，解法六：从等腰直角三角形入手，利用轴对称性将它补全为更大的等腰直角三角形来解决问题。因此，作为教师的我，为学生补充如下的思考：

补充思考：能不能用等腰直角三角形与正方形之间存在的诸多联系，思考并解决本题。如：将等腰直角三角形补全为正方形，如图：

师：“在正方形中求证线段数量关系，我们常见的方法是什么?”

生：“构造相似”。

师：“那你在图中如何构造相似呢?”

生：“延长QM，交线段BD 于点N。此时，图中就出现了由平行线构造的“A”字型和“8”字型相似基本模型”。

师：“是否能通过边的比例关系进行求解? 你能继续完成证明吗?”(此时学生会因为没有现成的线段比值而纠结，教师可以引导学生通过构造MB 为边的相似三角形，设正方形边长设为1，利用边的比例关系进行求解。)

经思考，学生的具体解答如下所示：

补充解法七：如图，设CP=x，AC=1.

补充思考：由于△ABC 是等腰直角三角形，则∠ACB=90°，能否以直角顶点为原点，建立平面直角坐标系，将几何条件代数化，从线段解析式出发，求出点M 最终的坐标，再利用两点之间的距离公式求得线段长，从而解决此题。如：以C 为原点，以CB 所在直线为x轴，以CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，然后再来解答。经思考，学生的具体解答如下所示：

补充解法八：以C 为原点，以CB 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系。

设CB=1，CP=α，则点C(0，0)，点P(a，0)，点B(1，0)，点A(0，1)，点Q(-a，0)，则kAP=-

∵AP⊥QM，得kQM=α.

∴直线QM 的解析式为y=α(x-α).

∵直线AB 的解析式为y=-x+1.

∴两直线交点M 的横坐标x=1-α.

“补”的环节，不仅是教师的补充，也可是学生交流后，由学生自己来补充。在这一环节，学生能更加全面的复习几何、代数和函数的知识，开阔学生的眼界，提升一题多解的能力。

3.课后——“用与提”一堂课是否有效，我想离不开课后作业的检测、评价与巩固。通过练习，可以了解学生对本堂课知识的掌握情况和应用能力，同时也是继续改进教学的依据。

(1)“用”，就是运用、应用。即学生把直播课中学到的知识，灵活地“用”在变式训练中。著名数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个”。因此在一题多解后配以有效的变式训练是极有必要的。它是帮助学生克服思维的狭窄性的有效方法，即学生广泛存在“只知其一，不知其二”，“听的懂，但换个条件又不会”的实际困难。

变式教学是指变换问题的条件或结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。它的有效教学，将帮助学生培养创新意识，拓展学生的创新空间。

比如：将上题中的条件稍作变动后，既可作为课后作业，也可用作学生迁移运用的练习。

如：将题中条件“P 是线段BC 上一点”稍加改动，则：

变式1 如右图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是射线CB 上一点(在B 点右侧)，连结AP，延长PC 至点Q，使得CQ=CP，过点Q 作QH⊥AP 交PA延长线于点H，交BA 延长线于点M，用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明。

变式2：如右图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是射线BC 上一点(在C 点左侧)，连结AP，点P 关于AC 的对称点Q落在边BC 上，过点Q 作QH⊥AP，延长HQ 交AB 的延长线于点M，用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明。

(2)“提”，就是提炼、提升。即在本节课的基础上，通过变式练习巩固以后，把本节课学到的解题思路和方法应用于类似题型的环节，这一环节目的在于进一步落实课堂知识，提高学生解题能力。比如，上述网上复习课之后，我布置了如下的作业：

提高练习1.已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，点D 是腰AC 上一个动点，过点C 作CE⊥BD 的延长线，垂足为E。

提高练习2.在等腰Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°.

(1)如图1，D，E 是等腰Rt△ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF.

①求证：△AED≌△AFD.

②当BE=3，CE=7 时，求DE 的长.

(2)如图2，点D 时等腰Rt△ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD，以点A 为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD=3，BC=9时，求DE 的长.

三、实效与反思

1.实效 见证一切教学行为是否成功，最终还要看实效。

(1)通过几节课的操作，学生参与网课学习的积极性、主动性提高了，最明显的表现就是：迟到的人数逐渐减少；

(2)在互动辩题中，因为学生得到了展现机会，在心理上获得了更多的肯定和满足，因此，网课中沉默的学生人数也大大降低，参与讨论的人数越来越多。

(3)作业质量明显有所好转，抄袭现象基本杜绝，学生在线限时测试成绩也得到了提升。

(4)课后学生在钉钉和微信中主动提出问题的现象增加，师生之间的互动交流的同时也增进了师生的情感。

(5)返校复课后，以“辩”题为母本的一题多解教学模式得到很好的沿用，学生课堂参与度有了很大的提高。

2.反思 “预与集、辩与补、用与提”教学模式，在线上教学相对受限的情况，尽可能地提高了学生的课堂参与度和获得感。在学中获得知识和肯定，提高上课的效率。为知识点落实提供相对的保障措施。当然在操作中，我们还有一些的困难与不足亟需解决。

(1)备课中，教师需要精细挑选备好本节课的题目，包括课后的变式和练习。在这个过程中，教师将花费较多的时间和精力。当然所有的努力都是为了学生能精学精练，培养举一反三的数学解题能力。

(2)辩题过程中不能实现同时多人之间的连线辩题，这样对于上课的活跃度有一定的影响。因此今后可以尝试其他的网络授课软件，寻找出最佳上课拍档。

(3)“预与集、辩与补、用与提”的教学模式，目前主要尝试应用与数学几何复习课中，对于代数知识的复习课模式，还需不断尝试和摸索。

(4)学生的作业，除了被评为优秀作业外，其他的奖励措施还没有及时跟进，长此下去，将影响学生辩题的积极性，也不利于成就感的获得。

在今后的授课中，我们可以及时将解法进行收集、整理和打印，最好能整理成册。为了提高学生的成就感和表现欲，我们可以将它命名为“2020 级11 班”经典解题集，作为班级数学共享资源，以便发挥出更大的价值。在解题集中我们甚至可以将某些同学的经典解题方法以他的姓名来命名，以此培养学生数学学习兴趣。点滴的积累，满满的收获。

在疫情期间，让我们教师坚守教育梦想，顺应教育教学的时代要求，化被动为主动，在不平凡的时期，打造不一样的精彩课堂。